فهرست مطالبعنوانصفحهچكيدهفصل صفر: مقدمه 12فصل اول: مقدمه اي بر كنترل نويز آكوستيكي71-1) مقدمه81-2) علل نياز به كنترل نويزهاي صوتي (فعال و غير فعال)91-2-1) بيماري هاي جسمي91-2-2) بيماري هاي رواني91-2-3) راندمان و كارايي افراد91-2-4) فرسودگي91-2-5) آسايش و راحتي91-2-6 جنبه هاي اقتصادي101-3) نقاط ضعف كنترل نويز به روش غيرفعال101-3-1) كارايي كم در فركانس هاي پايين101-3-2) حجم زياد عايق هاي صوتي101-3-3) گران بودن عايق هاي صوتي101-3-4) محدوديت هاي اجرايي101-3-5) محدوديت هاي مكانيكي101-4) نقاط قوت كنترل نويز به روش فعال111-4-1) قابليت حذف نويز در يك گسترده ي فركانسي وسيع111-4-2) قابليت خود تنظيمي سيستم111-5) كاربرد ANC در گوشي فعال111-5-1) تضعيف صدا به روش غير فعال در هدفون121-5-2) تضعيف صدا به روش آنالوگ در هدفون131-5-3) تضعيف صوت به روش ديجيتال در هدفون151-5-4) تضعيف صوت به وسيله ي تركيب سيستم هاي آنالوگ و ديجيتال در هدفون161-6) نتيجه گيري17 فصل دوم: اصول فيلترهاي وفقي 182-1) مقدمه192-2) فيلتر وفقي202-2-1) محيط هاي كاربردي فيلترهاي وفقي222-3) الگوريتم هاي وفقي252-4) روش تحليلي252-4-1) تابع عملكرد سيستم وفقي262-4-2) گراديان يا مقادير بهينه بردار وزن282-4-3) مفهوم بردارها و مقادير مشخصه R روي سطح عملكرد خطا302-4-4) شرط همگرا شدن به٭ W322-5) روش جستجو322-5-1) الگوريتم جستجوي گردايان322-5-2) پايداري و نرخ همگرايي الگوريتم352-5-3) منحني يادگيري362-6) MSE اضافي362-7) عدم تنظيم372-8) ثابت زماني372-9) الگوريتم LMS382-9-1) همگرايي الگوريتم LMS392-10) الگوريتم هاي LMS اصلاح شده402-10-1) الگوريتم LMS نرماليزه شده (NLMS)412-10-2) الگوريتم هاي وو LMS علامتدار وو (SLMS)412-11) نتيجه گيري43 فصل سوم: اصول كنترل فعال نويز 443-1) مقدمه453-2) انواع سيستم هاي كنترل نويز آكوستيكي453-3) معرفي سيستم حذف فعال نويز تك كاناله473-4) كنترل فعال نويز به روش پيشخور483-4-1) سيستم ANC پيشخور باند پهن تك كاناله493-4-2) سيستم ANC پيشخور باند باريك تك كاناله503-5) سيستم هاي ANC پسخوردار تك كاناله513-6) سيستم هاي ANC چند كاناله523-7) الگوريتم هايي براي سيستم هاي ANC پسخوردار باند پهن533-7-1) اثرات مسير ثانويه543-7-2) الگوريتم FXLMS573-7-3) اثرات فيدبك آكوستيكي613-7-4) الگوريتم Filtered- URLMS663-8) الگوريتم هاي سيستم ANC پسخوردار تك كاناله693-9) نكاتي درباره ي طراحي سيستم هاي ANC تك كاناله703-9-1) نرخ نمونه برداري و درجه ي فيلتر723-9-2) عليت سيستم733-10) نتيجه گيري74 فصل چهارم: شبيه سازي سيستم ANC تك كاناله 754-1) مقدمه764-2) اجراي الگوريتم FXLMS764-2-1) حذف نويز باند باريك فركانس ثابت764-2-2) حذف نويز باند باريك فركانس متغير814-3) اجراي الگوريتم FBFXLMS834-4) نتيجه گيري85 فصل پنجم: كنترل غيرخطي نويز آكوستيكي در يك ماجرا 865-1) مقدمه875-2) شبكه عصبي RBF885-2-1) الگوريتم آموزشي در شبكه ي عصبي RBF905-2-2) شبكه عصبي GRBF935-3) شبكه ي TDNGRBF945-4) استفاده از شبكه ي TDNGRBF در حذف فعال نويز955-5) نتيجه گيري98 فصل ششم: نتيجه گيري و پيشنهادات 996-1) نتيجه گيري1006-2) پيشنهادات101مراجعI فصل اولمقدمه اي بر كنترل نويز آكوستيكي 1-1 ) مقدمهنويزهاي آكوستيكي[1] موجود در محيط نه تنها تاثير مستقيمي بر روي شنوايي افراد مي گذارند، بلكه باعث كاهش راندمان و كارائي آنها، بيماري هاي جسمي از قبيل فشار خون، كاهش آسايش و راحتي افراد و فرسودگي در دستگاه ها مي شوند. اگر چه مشكل سر و صدا نسبت به مساله آلودگي محيط با مواد آلوده كننده، توجه كمتري را به خود جلب مي كند، اما امروزه آگاهي جامعه نسبت به انعكاس غير بهداشتي اصوات بلند، بيش از هميشه وجود دارد. بنابراين تلاش هاي زيادي براي كاهش نويزهاي آكوستيكي موجود در محيط شده است. بدين منظور روش هاي فعال[2] و غيرفعال[3]به كار مي رود. بزرگترين مزيت موجود در روش فعال اين است كه برخلاف روش غيرفعال مي توان نويز را در يك فضاي كوچك و بخصوص در فركانس هاي پايين (زير 500 هرتز)، كاهش داد [1، 6، 16].ايده اوليه كنترل فعال نويز توسط pual Lveg در سال 1936 براي حذف نويز در مجراها[4] معرفي و تشريح گرديد [2]. اين سيستم، صداي ناخواسته را بوسيله توليد يك موج صوتي مشابه (هم دامنه)، ولي با فاز مخالف از بين مي برد. تداخل امواج نويزهاي ناخواسته و موج ساخته شده، باعث حذف هر دو صدا مي‌شود. اگر سيستم فعال، فاز و دامنه ي موج اوليه را به درستي تشخيص دهد، موفقيت در حذف نويز حاصل مي شود.علي رغم تحقيقات انجام شده در دهه ي 1950 بر روي سيستم هاي كنترل فعال نويز، به دليل فقدان تكنولوژي لازم، اين سيستم ها بصورت عملي پيشرفت قابل ملاحظه اي نكردند. اما در سال هاي بعد، با بكارگيري تكنيك هاي ديجيتالي به جاي سيستم هاي پيچيده آنالوگ و بكارگيري علم پردازش سيگنال هاي ديجيتال، پيشرفت قابل ملاحظه اي حاصل شد. بگونه اي كه امكان دستيابي به سيستم هاي ANC در كاربردهاي گوناگون فراهم آمد [3]. هم اكنون با پيدايش پردازنده هاي سريع سيگنال هاي ديجيتال ، امكان پياده سازي سيستم هاي كنترل فعال نويز با استفاده از الگوريتم هاي مختلف محقق گرديده است.سيستم هاي كنترل فعال نويز در دهه ي 1980 بر پايه ي نظريه ي فيلترهاي وفقي بنا و توسعه داده شده است [4]. با توجه به توانايي ها و ارزان قيمت بودن سخت افزارهاي DSP مثل خانواده ي TMS320، تكنولوژي استفاده از اين سخت افزارها همراه با تئوري ANC عملي شده است [7]. 1-2)علل نياز به كنترل نويزهاي صوتي (فعال و غيرفعال)1-2-1) بيماري هاي جسمي [17]يكي از مشكلات اساسي در مورد وجود صدا با شدت بالا، اثرات نابهنجار شنوايي است كه كودكان بيشتر در معرض اين بيماري ها قرار مي گيرند. بايد به اين توجه كرد كه سطح فشار آكوستيكي db 130 به عنوان آستانه دردناكي ناميده مي شود. بعنوان نمونه چندين نوع صدا به همراه مقدار شدت صدا در زير آمورده شده است.1) صداي جريان آب در رودخانه و صداي خش خش برگ درختان: db152) صداي ناشي از يك صحبت معمولي: db 60-453) صداي يك صورت تراش الكتريكي: db854) صداي ناشي از پرتاب موشك در فاصله ي 150 فوتي از سكوي پرتاب: db 180 1-2-2) بيماري هاي رواني [17]اصوات ناخواسته، يكي از مهمترين عوامل در به هم زدن تعادل رواني افراد مي باشند. در تحقيقاتي كه جديداً بر روي كودكان انجام گرفته است، نشان مي دهد كه يادگيري كودكان در محيط هاي شلوغ به شدت كاهش مي يابد. 1-2-3) راندمان و كارايي افرادكاهش هوشياري و خستگي ناشي از سر و صدا در هنگام كار، از مهمترين عوامل كاهش كارايي افراد است. 1-2-4) فرسودگيدر اثر لرزش در سطوح و بدنه وسايل، طول عمر وسايل كاهش خواهد يافت. بعنوان مثال، فرسودگي هليكوپتر به خاطر ارتعاش ناشي از چرخش ملخ هيلكوپتر، بعنوان يكي از مهمترين پارامترهاي فرسودگي در نظر گرفته مي شود. 1-2-5) آسايش و راحتييكي از عوامل حياتي در بيمارستان ها و محيط هاي درماني، حفظ آرامش مي باشد كه با حذف نويزهاي صوتي، اين آرامش به حد قابل قبولي بدست خواهد آمد. 1-2-6) جنبه هاي اقتصادينويز صوتي موجود در محيط كار، باعث كاهش كارايي و راندمان افراد مي شود كه ضررهاي اقتصادي به همراه خواهد داشت. همچنين فرسودگي ناشي از ارتعاش در دستگاه ها و وسايل حمل و نقل، موجب ضررهاي اقتصادي است. با حذف اين پارامترها مي توان طول عمر دستگاه را افزايش داد. 1-3)نقاط ضعف كنترل نويز به روش غيرفعالكنترل كننده هاي غيرفعال چندين ضعف دارند كه همين امر باعث شده است كه كنترل كننده هاي فعال، جايگاه ويژه اي پيدا كنند. ضعف هاي كنترل كننده هاي غيرفعال عبارتند از: 1-3-1) كارايي كم در فركانس هاي پايين [16]با كاهش فركانس، طول موج افزايش مي يابد. به همين دليل طول موج در فركانس هاي پايين، زياد است. به دليل اينكه مقدار تضعيف صوت، توسط عايق هاي صوتي، متناسب با ضخامت عايق است و اين ضخامت نيز متناسب با طول موج است، (هر چه طول موج افزايش يابد، ضخامت عايق نيز بايد افزايش يابد) نتيجه گرفته مي شود كه در فركانس هاي پايين، به عايقي با ضخامت خيلي زياد نياز است كه عملاً امكان پذير نيست. 1-3-2) حجم زياد عايق هاي صوتي [1]عايق هاي صوتي از موادي ساخته شده اند كه داراي حجم زياد هستند، به همين خاطر در جاهايي كه محدوديت حجم وجود دارد، امكان استفاده از اين عايق ها نيست. 1-3-3) گران بودن عايق هاي صوتي [1]به علت نوع مواد مصرفي اين عايق ها، قيمت آن ها گران است.1-3-4) محدوديت هاي اجراييدر بعضي از مكان ها امكان استفاده از كنترل كننده هاي غيرفعال نيست. مثلاً در كوره ها نمي توان از عايق هاي صوتي استفاده كرد.1-3-5) محدوديت هاي مكانيكيبه علت يكپارچه بودن اين عايق ها، در جاهايي كه نياز به حركت هوا مي باشد. محدوديت هايي ايجاد مي شود. مثلاً در يك كارخانه امكان پوشاندن وسايل با عايق هاي صوتي نيست. چون وسايل خيلي زود گرم خواهند شد و در نتيجه آسيب خواهند ديد.1-4) نقاط قوت كنترل نويز به روش فعال [12]1-4-1) قابليت حذف نويز در يك گستره ي فركانسي وسيعاين سيستم قادر به حذف نويز در محدوده ي فركانسي وسيعي مي باشد. همانطوري كه گفته شد روش هاي غيرفعال در فركانس هاي پايين كارايي مناسبي ندارند. اما كنترل نويز به روش فعال در فركانس هاي پايين بسيار موثر واقع شده است. 1-4-2) قابليت خود تنظيمي سيستماگر تغييراتي در پارامترهاي فيزيكي از قبيل درجه ي حرارت و سرعت جريان هوا ايجاد شود، سيستم براي رسيدن به وضعيت بهينه (حداقل خطا) قادر به تنظيم خود مي باشد.پس از بيان نقاط ضعف روش غيرفعال و نقاط قوت روش فعال، در بخش بعدي به معرفي گوشي فعال كه يكي از كاربردهاي سيستم ANC در صنعت است، مي پردازيم. 1-5) كاربرد ANC در گوشي فعالامروزه از سيستم هاي ANC در جاهاي زيادي از قبيل درون كارخانجات، معادن، اتاقها و ساختمان ها، كارخانه هاي تصفيه آب، كوره ها و ديگ هاي بخار، فن و توربوفن[5]، ژنراتور ديزلي، ترانسفورماتور، كمپرسور، كابين هواپيما، كابين هلي كوپتر، اتومبيل، كوپه قطار، موتور هواپيما، قايق، اگزوز اتومبيل، پمپ تخليه، پمپ دمنده[6]، سيستم خنك كننده[7]، اگزوز توربين گازي[8]، مجرا[9]، سيستم تهويه[10]، گوشي، كلاه فعال، استوديوي صدا برداري، پمپ هيدروليكي، موشك ، آمبولانس و كامپيوترها استفاده شده است. كاهش فعال صدا درون هدفون ها شايد بهترين استفاده ي كنترل فعال صدا باشد. فعاليت كنترل فعال صدا از سال 1936 بوسيله ي تجربيات pual Lueg براي حذف نويز در مجراها آغاز گرديد و بعدها در سال 1953 دو نفر به نام هاي Olson و May نحوه ي حذف نويز را با استفاده از هدفون، توجيه كردند [18]. در دهه ي 1950 سه نفر به مام هاي Hawley , Simshauser , و Meeker طريقه ي استفاده از تقويت كننده هاي آنالوگ براي كاهش فعال نويز درون هدفون ها را با استفاده از بلندگو درون ساختار خود هدفون، مطالعه كردند [19،20، 21]. به هر حال، در حدود سال 1980 اين تكنولوژي بصورت سازمان يافته اي مورد مطالعه قرار گرفت.گوشي فعال در واقع يك كاهنده ي فعال است كه از تكنيك هاي كنترل فعال، در كاهش نويز استفاده مي كند. گوشي فعال معمولاً در محل هاي پر سروصدايي مورد استفاده قرار مي گيرند كه بايستي از سيستم شنوايي محافظت شود. اينگونه هدفون ها معمولاً از هر دو تضعيف كننده هاي فعال و غيرفعال استفاده مي‌كنند. تضعيف غيرفعال، به كمك پوشش هدفون كه روي گوش قرار داده مي شود، انجام مي گيرد و باعث كاهش يا از بين رفتن صداي ورودي مي شود. اين روش در فركانس هاي بالا بسيار موثر است. در تضعيف فعال، بلندگو را براي توليد صداي حذف كننده، درون هدفون جاسازي مي كنند. در نتيجه عمل حذف بصورت فعال انجام مي گيرد. اين كار در فركانس هاي پايين موثر است. هدفون هايي كه موجب حذف نويز در محدوده ي فركانسي وسيع مي شوند، از هر دو روش فعال و غيرفعال براي ماكزيمم كاهش نويز استفاده مي كنند.خلبانان درون كابين هواپيما، از هدفون براي حفاظت در برابر صدا استفاده مي كنند. البته با اين روش خلبان از اوضاع اطرافش بهتر باخبر مي شود و نيز كاركنان فرودگاه ها هنگاميكه در مجاورت هواپيما هستند، از اين هدفون ها استفاده مي كنند. همچنين در ارتش به هنگام استفاده از وسايل نقليه ي سنگين با موتورهاي بزرگ و پر سر و صدا، از هدفون جهت حفاظت از گوش استفاد مي شود. امروزه مسافران هواپيما نيز از هدفون خاصي استفاده مي كنند. درون اين هدفون ها معمولاً از سيستم هاي صوتي و يا تصويري استفاده شده است تا مسافر در حين سفر هم سرگرم شود و هم از گوش هايش محافظت بهتري شود. 1-5-1) تضعيف صدا به روش غيرفعال در هدفوناگر هدفون داراي پوشش مناسبي براي گوش باشد، باعث تضعيف و يا از بين رفتن نويز مي شود. پوشش مورد نظر بايستي صاف و انعطاف پذير باشد تا كاملاً روي سطح گوش قرار گيرد. اگر در معرض حجم زيادي از صوت قرار داشته باشيم، اين حجم زياد از صوت، باعث لرزش بدنه ي پوشش هدفون شده و در نتيجه صوت را به درون مجراي هدفون انتقال مي دهد كه در نهايت بوسيله ي شنونده درك مي شود. اين مسئله در شكل 1-1 نشان داده شده است. پوشش هاي سنگين تر با صفحات سفت و محكم به سختي مي لرزند و در نتيجه عمل تضعيف صوت را به روش غيرفعال بهتر انجام مي دهند. شكل (1-2) نمايش دهنده ي نمودار تضعيف غيرفعال برحسب فركانس در گوشي هاي معمولي است و نشان مي دهد كه در زير فركانس قطع، در حدود db15 تضعيف داريم. ولي در بالاي فركانس قطع، تضعيف فعال استفاده كنيم، فرآيند تضعيف صوت بهبود خواهد يافت. 1-5-2) تضعيف صدا به روش آنالوگ در هدفوندر دهه ي 1950 سه نفر به نام هاي Hawley,Meeker و Simshavser بر روي گوشي هاي حذف نويز مطالعاتي انجام دادند كه در اين مطالعات از ساختاري همانند شكل (1-3) استفاده كردند [19،20،21]. اين سيستم كنترلي، همانند هر سيستم پسخوردار ديگري در فركانس هاي بالا، توليد بهره ي كنترلي پاييني مي كند. اما در فركانس هاي پايين باعث شده كه بلندگو صداي با دامنه ي برابر ولي با اختلاف فاز 180 درجه نسبت به نويز توليد كند. شكل (1-4) نشان دهنده ي دياگرام بلوكي اين سيستم است. در اين ساختار p پاسخ ورودي بلندگو تا خروجي، C معرف كنترل كننده ي آنالوگ، d نويز خارجي كه توسط ميكروفن اندازه گيري مي شود و e معرف سيگنال خطا است. با توجه به اينكه معرف پاسخ سيستم مدار بسته است كه با s نمايش مي دهند، سيگنال خطا برابر است با: اندازه ي s نشان دهنده ي تضعيف صوت است كه در شكل (1-5) نمايش داده شده است. در فركانس‌هاي پايين كه بهره كنترل كننده (CP) معمولاً بالاست، S كوچك است و تضعيف بزرگي حاصل مي‌شود. در فركانس هاي بالا كه گين كنترل كننده (CP) پايين است، پاسخ سيستم مدار بسته نزديكل واحد خواهد شد و كنترل كننده اثري ندارد. در فركانس هاي حدود 1 كيلو هرتز، تقويت كننده باعث تقويت نويز مي شود. اني تقويت براي بسياري از سيستم هاي عملي در گوشي غيرقابل اجتناب است كه اين امر در انتگرال Bode پيشنهاد شده است [7].(1-2) اين انتگرال از لگاريتم اندازه ي S روي ناحيه ي فركانسي گرفته مي شود و بيان مي كند كه در يك رنج فركانسي كامل مجموع تقويت و تضعيف برابر صفر است. اين عمل را به اصطلاح اثر بستر آب[11]،نامند.همانطوريكه در شكل (1-5) نشان داده شده بيانگر اين است كه اگر در يك رنج فركانسي تضعيف داشته باشيم، در يك رنج فركانسي ديگر تقويت خواهيم داشت [7]. همانطوري كه نشان داده شده تضعيف صوت به روش آنالوگ مي تواند در هدفون هاي فعال مورد استفاده قرار گيرد. اما نحوه ي تضعيف صوت، بصورت ثابت وبدون توجه به اندازه ي نويز ورودي انجام مي شود. اين محدوديت ها براي كنترل كننده هاي آنالوگ به بهترين مزيت ها براي كنترل كننده هاي ديجيتال، بدل شده است. زيرا كنترل كننده هاي ديجيتال وفقي مي توانند تغييرات در فضا را دنبال كنند و در نهايت قادر ند كه كاربرد اصلي را به بيشترين حد ممكن از كارايي برسانند. 1-5-3) تضعيف صوت به روش ديجيتال در هدفونكاربرد سيستم هاي وفقي در كنترل فعال نويز در دهه ي 1980 بوسيله ي Erikson , Rovre و Allie مطرح شد [22، 23]. شكل (1-6) معرف اين ساختار است. كنترل فعال نويز به روش ديجيتال نياز به شناسايي و فيلتر كردن سريع نويز اوليه- به منظور هدايت به موقع آن به سمت بلندگو و حذف نويز اوليه- دارد. تاخير شديد و طولاني در مسير كنترل ديجيتال به اين معني است كه سيگنال حذف كننده براي حذف نويز بسيار دير مي رسد. تاخير در كنترل كننده هاي ديجيتال معمولاً شامل تأخير نمونه برداري بوسيله ي پردازنده هاي DSP، مبدل A/D مبدل D/A و تأخير فاز در فيلترهاي پايين گذر است. اگر مجموع تاخير الكتريكي بر تأخير آكوستيكي (كه از ميكروفن ورودي تا بلندگوي حذف كننده است) تجاوز كند، فيلتر وفقي بصورت غيرعلي در خواهد آمد. در نتيجه تضعيف سيگنال باند پهن[12]دچار مشكل مي شود و فقط نويزهاي باند باريك[13]مي توانند به خوبي تضعيف شوند [1،12]. بعلت كوچك بودن سايز هدفون ها، تاخير آكوستيكي معمولاً كم خواهد بود و تنها اگر يك DSP بسيار قوي مورد استفاده قرار گيرد، تأخير الكتريكي بر تأخير آكوستيكي فائق مي آيد [7]. در نتيجه هنگام استفاده از DSP ها، كار ما به حذف نويزهاي باند باريك بسيار كاربردي هستند، حتي اگر با زمان تغيير كنند و در اين حالت مي توانند بهتر از سيستم هاي آنالوگ كار كنند [7]. ولي كنترل كننده هاي آنالوگ مي توانند كارائي بهتري در تضعيف نويزهاي باند پهن با تأخير الكتريكي كم ارائه دهند. پس كداميك بهتر است؟ 1-5-4) تضعيف صوت بوسيله ي تركيب سيستم هاي آنالوگ و ديجتال در هدفونبهترين راه حل اين است كه هر دو سيستم را با هم تركيب كنيم و از فايده هاي آنها استفاده ببريم. بوسيله ي سيستم آنالوگ نويزهاي باند پهن و بوسيله ي سيستم ديجيتال نويزهاي باند باريك را تضعيف كنيم.فوايد عمومي تركيب كنترل فعال نويز بصورت پيشخور[14]و پسخور[15]بوسيله ي Rafaely,Tseng و Eliott در سال 1998 توضيح داده شده است [24]. تركيب پسخور آنالوگ و پيشخور ديجيتال در هدفون بوسيله اي Carme, Winbegetal در سال 1999 آزمايش شد [25و26].همانطوريكه در شكل (1-7) نشان داده شده، خروجي هاي كنترل كننده ي پسخور آنالوگ با كنترل كننده ي پيشخور ديجيتال در ورودي بلندگو تركيب مي شوند.در اين سيستم جديد كه از كنترل كننده هاي آنالوگ و ديجيتال استفاده مي برد، كنترل كننده ي آنالوگ و كنترل كننده ي ديجيتال به ترتيب p و Pd را كنترل مي كنند كه Pd شامل زنجيره ي كنترلي آنالوگ است.پس با استفاده از تركيب آنالوگ و ديجيتال و با كمك گرفتن از روش غيرفعال مي توانيم حفاظت مناسبي در برابر نويز ايجاد كنيم. 1-6) نتيجه گيريدر اين فصل ضمن بيان علت هاي نياز به كنترل نويز آكوستيكي، روش هاي فعال و غيرفعال را معرفي كرده و نقاط ضعف و قوت آنها را بررسي كرديم و به اين نتيجه رسيديم كه براي حذف نويزهاي فركانس پايين (زير 500 هرتز)، روش فعال مناسب تر است. در پايان اين فصل، در كاربرد گوشي فعال به اين نتيجه رسيديم كه استفاده از سيستم ديجيتال با كنترل وفقي، براي حذف نويزهاي باند باريك، و تركيب سيستم هاي آنالوگ و ديجيتال براي كنترل نويزهاي باند پهن، مناسب است. در فصل بعدي درباره ي اصول كار فيلترهاي وفقي صحبت خواهيم كرد. 1Acoustic noise control[2]- Active[3]- Pasive[4]-Ducts[5]-Fan & Turbo - Fan[6]- Blowers[7]- Cooling Tower[8]-Gas Turbine Exhaust[9]- Duct[10]- Air Conditioning[11]water - bed[12]broad band[13]- narrow band[14]-Feed forward[15]-Feedback فصل دوماصول فيلترهاي وفقي تحقيقات اخير نشان مي دهد كه در ميان روش هاي متعدد بكار گرفته شده در سيستم هاي كنترل فعال نويز، فيلترهاي وفقي بطور بسيار موفق و موثري مورد استفاده قرار گرفته اند. لذا در اين فصل اصول كار اين فيلترها توضيح داده مي شود. 2-1) مقدمهدر حالت هايي كه مشخصات سيستم آكوستيكي مورد نظر، در طي كنترل فعال نويز، ثابت و يا با تغييرات جزئي همراه باشد. لازم است كه مدل سازي ابتدايي از سيستم صورت پذيرد. به عبارتي ديگر سيستم آكوستيكي را مي توان با استفاده از تكنيك مدل سازي غير همزمان مدل كرد. ولي در اكثر مواقع، سيستم مذكور با گذشت زمان و بدون توجه به دقت مدل سازي انجام شده، نسبت به مدل متناظر دچار اختلاف مي شود. سيستم هاي كنترل فعال نويز معمولاً به علت تغييرات سيستم آكوستيكي، شرايط محيطي و تغيير رفتار سنسورها و محرك ها در اثر استحكاك كاري، سيستم هاي متغير با زمان مي باشند [27]. همچنين در بسياري از كاربردهاي كنترل فعال، نويز اوليه ثابت نبوده و در نتيجه كنترلر بايد به گونه اي تطبيق داده شود كه بتواند تغييرات در مشخصات نويز اوليه را ردگيري نمايد [27]. در مجموع مي توان بيان داشت كه كنترل فعال نويز به صورت كاملاً تطبيقي مورد نياز مي باشد تا عمل شناسايي و كنترل به صورت همزمان انجام پذيرد. امروزه با پيشرفت پردازشگرهاي ديجيتال و كاهش قيمت آنها، تكنيك هاي تطبيقي بصورت گسترده اي در طراحي سيستم هاي كنترل فعال نويز بكار گرفته مي شوند.كنترل تطبيقي بايد بگونه اي باشد كه امكان نمايش دقيق سيستم آكوستيكي را فراهم نمايد و در عين حال لازم است كه محاسبات كنترلر به اندازه كافي سريع باشدتا بتواند مساله ي عليت را تضمين نمايد [12].در فيلترهاي وفقي هنگاميكه سيگنال مبنا به خوبي با نويز اوليه مرتبط است، مي توان از كنترل پيشخوراند وفقي استفاده نمود كه ديگر يك كنترل حلقه باز نمي باشد [3]. هنگاميكه سيگنال مبناي مرتبط با منبع صوتي اوليه در اخيتار نبوده و يا اينكه سيگنال هاي مبناي متعددي در محفظه آكوستيكي وجود داشته باشد، آنگاه بكارگيري روش كنترل فعال نويز به طريق پيشخوراند غير عملي است در اين شرايط، كنترل پسخوراند توصيه مي شود [3]. براي اين نوع كنترلرها، سيگنال هاي خطاي باقيمانده به تنهايي براي فعال كردن منابع ثانويه بكار مي روند.هم اكنون در مخابرات، رادار، سونا، زلزله شناسي، طراحي مكانيكي، ناوبري و مهندسي پزشكي از سيستم هاي وفقي استفاده مي شود.در اين فصل سيستم هاي وفقي مورد بررسي قرار خواهد گرفت. همچنين الگوريتم هاي مختلف وفقي مطرح شده و الگوريتم LMS به طور كامل بررسي مي گردد. در اين مباحث نتايج روابط مطرح شده اند و اثبات آنها در مراجع آمده است.درفصل سوم نيز الگوريتم هايFBFXLMS, FXLMS و FU-RLMS كه نمونه اي از الگوريتم هاي مطرح در كنترل فعال نويز مي باشند، بيان شده است. 2-2) فيلتر وفقييك فيلتر ديجيتالي وفقي شامل دو قسمت مي باشد:1) بخش فيلتر ديجيتالي2) الگوريتم وفقي به منظور بهينه سازي ضرايب فيلترنماي كلي از فيلترهاي وفقي در شكل (2-1) نشان داده شده است كه در آن (k)d پاسخ دلخواه (يا سيگنال ورودي اوليه). (k)y خروجي فيلتر، (k)x سيگنال ورودي مرجع و (k)e سيگنال خطاي سيستم مي‌باشد. همچنين فرض مي كنيم (k)d و (k)x از لحاظ استاتيكي ايستا باشند. الگوريتم وفقي ضرايب فيلتر ديجيتالي را با كمينه كردن تابع سطح خطا، MSE ، تنظيم مي نمايد. توابع انتقال فيلترهاي ديجيتالي به دو دسته تقسيم مي شوند [29]:1) ساختار با پاسخ ضربه محدود (FIR)2) ساختار با پاسخ ضربه نامحدود (IIR)در سيستم هاي كنترل فعال نويز نيز هر دو نوع فيلتر مذكور قابل استفاده اند. در اين تحقيق به دليل ارزش پايداري فيلترهاي FIR، اين فيلتر با ساختار Transversal مورد توجه قرار گرفته است. عمده ترين دليل استفاده از اين ساختار، سادگي آن است كه باعث كاهش محاسبات و در نتيجه سادگي سيستم مي گردد. دياگرام بلوكي اين ساختار در شكل (2-2) ديده مي شود. در ساختار فوق، N مرتبه فيلتر است. همچنين با توجه به نحوه ي تنظيم ضرايب سيستم هاي وفقي، مي توان آنها را به دو دسته حلقه بسته و حلقه باز تقسيم بندي نمود [3]. در سيستم حلقه باز، اطلاعات لازم با اندازه گيري سيگنال ورودي و ديگر خصوصيات مورد لزوم محيط جمع آوري شده و به كمك الگوريتم تحت پردازش قرار مي گيرند. در سيستم حلقه بسته، پسخوري از عملكرد كلي سيستم در هر مقطعي از مراحل تنظيم ضرايب بطور اتوماتيك تهيه شده و در واحد پردازشگر بوسيله ي الگوريتم مناسبي كه اين عملكرد را بهينه مي سازد، مورد پردازش قرار مي گيرد. شكل (2-3) دياگرام بلوكي سيستم وفقي حلقه بسته را نشان مي دهد. نكته ي مهم ديگر اين است كه تمام مباحث مربوط به الگوريتم LMS بر مبناي ايستان بودن ورودي استوار مي باشد. در صورتيكه ورودي غيرايستان باشد، يعني خواص آماري آن با زمان تغيير كند، هرگز به نقطه بهينه نخواهيم رسيد، بلكه در حوالي آن قرار داريم، زيرا در اين حالت شكل سطح عملكرد ثابت نمي‌باشد و مرتباً كاسه عملكرد يا به عبارتي مقدار مينيمم سطح عملكرد با زمان تغيير مي كند [32]. اگر تعييرات آماري ورودي بسيار سريع باشد، بايد سرعت الگوريتم به نحوي باشد كه بتواند آن را تعقيب كند[33].سيستم هاي وفقي حلقه بسته بر سيستم هاي وفقي حلقه باز ارجعيت دارند و اكثراً در طراحي ها مورد استفاده قرار مي گيرند. بخصوص زماني كه پارامترهاي يك سيستم فيزيكي متغير بوده و مقادير آنها دقيقاً قابل پيش بيني نباشد. يك سيستم حلقه بسته، به علت دربرداشتن فيدبكي از عملكرد كلي سيستم، مي تواند عمل تنظيم را به خوبي انجام دهد.سيستم هاي وفقي شامل فيلترهاي وفقي مي باشند. گاهي اوقات يك سيستم وفقي فقط يك فيلتر وفقي است. در طراحي فيلترهاي وفقي، همواره بايد دو موضوع مشخص شود. اول معماري كه بر اساس آن بايد سيستم هدايت شود و دوم يك الگوريتم مناسب وفقي كه عمل هدايت را انجام دهد. در سيستم حلقه باز اين معيار خصوصيتي از سيگنال ورودي، يا اطلاعات متفرقه است. در حالي كه در سيستم حلقه بسته علاوه بر اين خصوصيات معيار هدايت سيستم، تابعي از سيگنال خروجي نيز خواهد بود. 2-2-1) محيط هاي كاربردي فيلترهاي وفقي [3-28]فيلترهاي وفقي داراي چهار ساختار كاربردي به شرح زير مي باشند:(1) پيشگويي[1]براي پيشگويي يك داده، (k)s، مي توان با استفاده از داده هاي قبلي و ساختاري همانند شكل (2-4)،داده ي جديد () را بدست آورد. براي انجام عمل پيشگويي بايستي خطا كه حاصل تفاضل سيگنال ورودي(d(k)=s(k)) با سيگنال پيشگويي شده() است، مينيمم شود. با مينيمم شدن خطا مي توان بيان كرد كه: از اين ساختار براي حذف سيگنال هاي پريوديك استفاده مي شود. (2) شناسايي سيستم[2] (مدل سازي سيستم)اگر بخواهيم فرآيندي را كنترل كنيم، ابتدا بايستي آن فرآيند شناخته شود؛ بدين منظور بواسطه ي ناشناخته بودن آن فرايند (فرآيندي ثابت است و يا متغير)، بهتر است كه از فيلترهاي وفقي و از ساختاري شبيه شكل (2-5) استفاده كنيم. در اين ساختار فيلتر وفقي بصورت موازي با سيستم ناشناخته قرار مي گيرد. همانطوريكه در شكل (2-5) مشاهده مي شود، به ازاي يك ورودي يكسان، خروجي فيلتر با خروجي سيستم ناشناخته مقايسه مي شود تا اينكه خطاي سيستم (k)e حاصل شود. سپس خطا را به يك الگوريتم وفقي وارد مي كنيم، و اين فرآيند را ادامه خواهيم داد تا وقتيكه خطا به حداقل مقدار ممكن برسد. در نهايت فيلتر وفقي نمايشي از آن سيستم ناشناخته است. بعنوان مثال براي كنترل نويزهاي آكوستيكي از اين ساختار استفاده مي شود كه در فصل سوم به بررسي آن مي پردازيم. (3) فيلتربندي معكوس[3]همانطوريكه در شكل (2-6) مشاهده مي شود، از يك فيلتربندي معكوس (يا برابر كننده تطبيقي) براي جبران خطاي ايجاد شده بوسيله خط انتقال، استفاده مي شود. استفاده از اين تاخير باعث علي[4]شدن سيستم مي شود.بعنوان مثال اگر بخواهيم سيگنال مغز را بدست آوريم، هنگام عبور اين سيگنال از سنسورها، تغييراتي روي آن حادث خواهد شد. بواسطه ي اين امر و براي بدست آوردن مقدار واقعي، سيگنال تغيير يافته را از يك فيلتر وفقي كه داراي پاسخي عكس پاسخ سنسورها مي باشد، عبور مي دهيم. بدين ترتيب مي توان سيگنال مطلوب را بدست آورد. (4) حذف نويز[5](تخمين فرآيند مشترك[6])همانطوريكه در شكل (2-7) مشاهده مي شود، از اين ساختار براي حذف سيگنال ناخواسته كه با سيگنال مطلوب جمع شده است، استفاده مي شود. از اين ساختار براي حذف نويز در ارسال صداي خلبان، تشخيص صداي قلب جنين و..... استفاده شده است. بعنوان مثال، براي تشخيص صداي قلب جنين بايستي از دو سنسور استفاده كرد. يكي از سنسورها را براي دريافت سيگنال قلب مادر، (k)n روي قلب مادر و ديگري را براي دريافت تركيب سيگنال قلب جنين، (k)s، و سيگنالي وابسته به سيگنال قلب مادر، (k)n، روي شكل مادر قرار داد. با استفاده از ساختار فوق، مشاهده مي شود كه خروجي فيلتر، سيگنالي شبيه سيگنال قلب مادر است، (k)n (k)y، در نتيجه خطاي سيستم وفقي (خروجي سيستم) همان صداي قلب جنين است. 2-3) الگوريتم هاي وفقيالگوريتم هاي وفقي روش هايي هستند كه بر اساس آنها مي توان ضرايب فيلتر وفقي را به گونه اي تغيير داد كه خروجي مطلوب حاصل گردد. در واقع الگوريتم مشخص مي كند كه ضرايب مدل چه مقدار و در چه جهتي بايد تغيير كنند تا در نهايت سيستم وفقي بتواند معيار مشخص شده را تامين نمايد.براي تنظيم ضرايب فيلتر وفقي معمولاً معيار متوسط مربع خطا (MSE) را به كار مي برند، يعني ضرايب را به گونه اي تغيير مي دهند كه MSE مينيمم گردد. براي اين كار الگوريتم هاي متعددي مطرح شده اند. آنچه كه در هر الگوريتم دنبال مي شود، محاسبه ي بردار ضرايب است. به عبارت ديگر مي توان گفت، در هر الگوريتم، مقصود محاسبه ي بردار وزن بهينه است كه آنرا با W يا Wopt نشان مي دهند و منظور از محاسبه ٭W تعيين مقادير بردار W است به گونه اي كه معيار MSE را مينيمم كند.الگوريتم هاي وفقي را مي توان با دو روش بررسي كرد يكي روش تحليلي است كه در اين روش با استفاده از دياگرام بلوكي يك سيستم وفقي معادلات رياضي آن نوشته مي شود. اين معادلات با توجه به فرض هاي قابل قبول ساده مي شوند و نهايتاً روابطي بدست خواهد آمد كه با محاسبه ي آنها، بردار وزن بهينه بدست مي آيد. اين روش ضمن بررسي تحليلي و تئوري سيستم وفقي نشان مي دهد امكان محاسبه بردار وزن، به طوري كه معيار MSE مينيمم شود، وجود دارد.روش ديگر بررسي الگوريتم هاي وفقي، استفاده از روش هاي جستجو[7]مي باشد. در روش جستجو الگوريتم هايي مطرح مي شوند كه با پياده سازي آنها، سيستم وفقي قابل مشاهده مي باشد. در اين روش الگوريتم هاي مختلفي مطرح هستند كه استفاده از هر كدام به نوع مسئله و مشخصات سيگنال ورودي سيستم وفقي بستگي دارد. اكنون دو روش مزبور را مورد بررسي قرار مي دهيم. 2-4) روش تحليلي [3]در روش تحليلي براي نوشتن معادلات، از بين كاربردهاي مختلف سيستم هاي تطبيقي يك پيشگويي كننده وفقي، مطابق با شكل (2-8) در نظر مي گيريم. همانگونه كه از شكل پيداست، xk سيگنال ورودي سيستم وفقي مي باشد كه نمونه هاي تاخير يافته آن، xk-m به ورودي فيلتر وقفي اعمال مي شود . همچنين خروجي سيستم با ykنشان داده شده است . ضرايب فيلتر وقفي بايد به گونه اي تغيير يابد كه خروجي فيلتر وقفي يعني yk به xk نزديك شود تا در نهايت خطاي سيستم به مقدار مينيمم خود برسد. بر حسب تعريف، در اين ساختار xk را ورودي مطلوب[8]مي نامند و آن را با dk نشان مي دهند. همچنين ميزان تاخيرها به تعداد وزن هايي بستگي دارد كه براي وفق دهي سيستم استفاده مي گردد. در واقع فيلتر وفقي با توجه به ميزان خطا () ضرايب وزن ها را آنقدر تغيير مي دهد تا خطا مينيمم شود. 2-4-1) تابع عملكرد سيستم وفقيبردار نمونه هاي ورودي سيستم وفقي، xk، به دو صورت زير بيان مي شود [3]:الف) با يك ورودي[9] ب) با چند ورودي [10]. شكل (2-9) سيستم وفقي را با دو نوع ورودي ياد شده نشان مي دهد.مقادير بردار Xk براي هر حالت از قرار زير است:(2-1) [xok x1k... xlk]TXk = : با چند ورودي(2-2) Xk = [xk xk-1 ... xk-l]T : با يك وروديبردار Xk ستوني است و علامت T (ترانسپوز) معرف ستوني بودن آن است. با توجه به شكل (2-9) خروجي فيلتر وقفه، yk. براي هر حالت عبارت است از:(2-3)(2-4)كه Wk نيز يك بردار ستوني است:(2-5) Wk = [wok w1k ...wik]Tبا در نظر گرفتن بردارهاي Wk و Xk مي توان yk را به صورت زير نوشت:(2-6)با توجه به شكل (2-9) واضح است كه خطا، از رابطه زير محاسبه مي گردد:(2-7) = dk- ykبا جايگزيني رابطه ي (2-6) در معادله فوق خواهيم داشت:(2-8)اگر معيار MSE را به كار بريم خواهيم داشت:(2-9)كه در آن مقادير P و R روابط زير مي باشند:(2-10) R= E[XKXTK](2-11) ] P= E[dkXK] = E [dkxok dkx1k ... dkxLk R را ماتريس همبستگي ورودي[11]مي نامند. با توجه به رابطه ي (2-9) در صورتي كه پاسخ مطلوب ورودي و مولفه هاي ورودي متغيرهاي تصادفي ايستان باشند، متوسط مربع خطا، MSE، يك تابع درجه دوم از اجزاي بردار ضرايب، W، خواهد بود. كه MSE در حالت N بعدي، N-1 وزن دارد و شكل آن يك هايپرپارابولوئيد[12]مي باشد. بنابراين تابع (2-9) فقط داراي يك مينيمم منحصر به فرد است.شكل (2-10) سطح عملكرد MSE را در حالت دو وزني نشان مي دهد. همانطور كه انتظار مي رود در حالت دو وزني MSE به شكل يك سهموي[13]مي باشد. شكل MSE را سطح عملكرد خطا مي نامند. 2-4-2) گراديان يا مقادير بهينه بردار وزنبراي بدست آوردن مقادير بهينه[14]ضرايب بردار وزن، W، بايد مشتق MSE نسبت به ضرايب بردار وزن را برابر صفر قرار داد. بنابراين خواهيم داشت:(2-12)اين مشتق نسبي را اصطلاحاً بردار گراديان[15]ناميده و با نشان مي دهند. واضح است كه بردار گراديان تابعي از خواهد بود. در رابطه (2-12)، R و P همان روابط (2-10) و (2-11) مي باشند. با صفر قرار دادن بردار گراديان مقادير بهينه ي بردار وزن بدست مي آيد:(2-13)= 2RW-2P=0بنابراين خواهيم داشت:(2-14) W*= R-1Pرابطه (2-14) در واقع N معادله ي خطي همزمان مي باشد. شرط داشتن جواب آن است كه ماتريس R مثبت معين[16]باشد. رابطه ي (2-14) بياني از رابطه ي ماتريسي وينر مي باشد [30].حل معادله ي (2-14) مشكل مي باشد. براي ساده شدن آن، مي توان از خواص بردارها[17]و مقادير مشخصه[18]ماتريس R استفاده كرد. در اين صورت ماتريس همبستگي ورودي بصورت زير در مي آيد [3]:(2-15) ياكه در آن Q ماتريس بردارهاي مشخصه يا ماتريس وضعي[19] نام دارد و ماتريس مقادير مشخصه است كه قطري مي باشد. R را در اين حالت شكل نرمال ماتريس همبستگي ورودي مي نامند. ابعاد ماتريس هاي و Q برابر با ابعاد ماتريس R مي باشد. بنابراين از درجه ي (L+1)×(L+1) مي‌باشند، كه L+1 تعداد اوزان فيلتر است. وقتي R از رابطه ي 2-15 محاسبه شود با استفاده از آن رابطه ي 2-14 ساده شده و W براحتي محاسبه مي گردد.از آنجا كه ماتريس همبستگي R متقارن است مي توان ار خواص ماتريس هاي و Q استفاده كرد. اين خواص عبارتند از [3]:1) بردارهاي ويژه متعامد هستند يعني: QmTQn=02) ماتريس بردارهاي ويژه ارتو نرمال است يعني:3)از آنجا كه R معين مثبت است بنابراين ماتريس مقادير ويژه مثبت است. يعني:اكنون با محاسبه ي W* مي توان MSE مينيمم را بدست آورد. براي محاسبه ي MSE مينيمم، كافي است مقادير وزن بهينه، *W را در رابطه ي MSE (يعني 2-9) قرار داد. بنابراين خواهيم داشت:(2-16)با در نظر گرفتن بعضي از خواص ماتريس ها و همچنين با استفاده از متقارن بودن R يعني با استفاده از روابط زير:RT= R [R-1]T=R-1خواهيم داشت:(2-17)رابطه ي 2-17 نشان مي دهد در صورتيكه با PTW* مساوي نشود، صفر نخواهد شد با توجه به مقدار بدست آمده براي رابطه ي 2-9 زير بدست مي آيد:(2-18)رابطه 2-18 نشان مي دهد در صورتي كه الگوريتم همگرا شده و وزن هاي بهينه بدست آيند، به خواهيم رسيد و نيز هميشه صفر نخواهد بود. مي توان ثابت كرد وقتي اوزان بهينه بدست آيند (W=W*) آنگاه به نتيجه ي تئوري فيلتر وينر مي رسيم. به عبارت ديگر وقتي پاسخ ضربه فيلتر بهينه شود، آنگاه سيگنال خطا با سيگنال ورودي غير همبسته خواهد شد. پس مي توان نوشت:(2-19) 2-4-3) مفهوم بردارها و مقادير مشخصه R روي سطح عملكرد خطابا استفاده از روابط 2-18 و 2-9 مي توان مفهوم بردارها و مقادير ويژه را روي سطح عملكرد خطا مشاهده كرد. منحني در حالت دو وزني سه بعدي است و در شكل (2-10) رسم شده است. اگر مقاطع سطح عملكرد خطا را با صفحاتي موازي صفحه W0W1 بدست آوريم، منحني هاي بيضي شكلي بدست مي آيد كه با استفاده از رابطه ي 1-9 حاصل مي شوند. اين منحني ها كه در شكل (2-11) نشان داده شده اند با رابطه ي زير قابل بيان هستند:(2-20) WTRW-2PTW=const) رابطه 2-20 نقاطي روي سطح عملكرد خطا را نشان مي دهد كه در آن نقاط مقدار ثابت است و اين نقاط همان منحني هاي بيضوي در شكل (2-11) مي باشند. مركز محورهاي مختصات را به مركز بيضي انتقال داده تا مركز محورهاي مختصات جديد بر نقطه ي قرار گيرد. محورهاي بدست آمده را با v نشان مي دهيم. در دستگاه مختصات جديد، دو خط وجود دارد كه بر قطرهاي بيضي منطبقند. اين خطوط را محورهاي اصلي[20]مي نامند. محورهاي اصلي را با V نشان مي دهيم. در حالت دو وزني V شامل V0 و V1 و V شامل V0 و V1 مي باشد كه در شكل (2-11) نشاند داده شده است. بطور كلي در حالت L+1 وزني، L+1 محور مختصات وجود خواهد داشت. اگر رابطه ي گراديان را در دستگاه مختصات با محورهاي اصلي بنويسيم، به رابطه ي زير مي رسيم:(2-21)رابطه 2-21 نشان مي دهد كه V (محورهاي مختصات اصلي) بردارهاي ويژه ماتريس همبستگي ورودي R مي باشد. بنابراين وقتي بردارهاي ويژه R را بدست مي آوريم به معناي آن است كه دستگاه مخصات اصلي را بدست آورده ايم.بطور خلاصه روابط در سه دستگاه مختصات به ترتيب زير مي باشند:(2-22)(2-23)(2-24)روابط (2-22) و (2-23) و (2-24) به ترتيب معادلاتي در دستگاه مختصات طبيعي[21]، انتقال يافته[22]و اصلي مي باشند. جهت بدست آوردن دستگاه مختصات انتقال يافته و اصلي از روي دستگاه مختصات طبيعي، تبديلات زير صورت پذيرفته است:(2-25) V=W-W*: انتقال(2-26) V=QTV=Q-1V: چرخشاكنون مقادير ويژه ي ماتريس همبستگي R را بررسي مي كنيم. اگر از رابطه ي در دستگاه مختصات اصلي يعني (2-24) بردار گراديان را محاسبه كنيم، مشاهده مي شود كه مقادير ماتريس همبستگي ورودي مشتق دوم در اين دستگاه مختصات مي باشند. 2-4-4) شرط همگرا شدن به W*اگر مقدار W* بدست آيد، قدرت خطا مينيمم خواهد شد. در صورتي به نقطه ي بهينه يا به W* مي‌رسيم كه سيگنال ورودي ايستان[23] باشد يا به عبارت ديگر خواص آماري آن با زمان تغيير نكند. در اين صورت نقطه ي مينيمم تابع تغيير نكرده و ثابت باقي مي ماند. بنابراين به W* خواهيم رسيد و در اين حالت فيلتر وفقي به يك مقدار بهينه همگرا خواهد شد.اگر سيگنال ورودي در فواصلي ايستان[24] باشد (نقطه مينيمم در حال تغيير است، يعني در شكل (2-10) كاسه سطح عملكرد خطا متغير باشد)، در اين صورت براي بدست آوردن W سيستم را بايد در هر فاصله ي زماني كه ورودي ايستان است. حل كرد، بنابراين روش تحليلي بحث شده به روش وفقي بلوكي[25] منجر خواهد شد.اگر سرعت تغييرات ورودي زياد باشد، براي رسيدن به نقطه ي مينيمم روي سطح عملكرد خطا بايد سرعت بدست آوردن ضرايب بردار وزن از سرعت تغييرات ورودي بيشتر باشد. براي رسيدن به اين هدف بايد با ورود هر نمونه جديد، ضرايب تجديد[26] شوند، برآورده شدن اين هدف با روش جستجو امكان پذير مي باشد. در اين حالت كه سرعت تغييرات ورودي زياد است، شكل سطح عملكرد دائماً در حال تغيير است و در نتيجه نقطه ي مينيمم نيز در حال تغيير مي باشد. بنابراين نمي توان ادعا كرد به نقطه بهينه مي‌رسيم بلكه در حوالي آن در حال نوسان مي باشيم. در اين حالت در صورتي مي توان نقطه ي مي نيمم را دنبال كرد كه سرعت تجديد ضرايب از سرعت تغيير خواص آماري سيگنال ورودي بيشتر باشد. [1]- Prediction[2]-system identification[3]-Inverse filtering 8 Eqalization[4]-Causal[5]- Noise Cancelling[6]-Joint Process Estimation[7]-Search[8]-Desired Input[9]-Single input[10]-Multi input[11]-Input Correlation Matrix[12]-Hyperparaboloid[13]-Paraboloid[14]- Optimum[15]- Gradient[16]-طبق تعريف در صورتي ماتريس R مثبت معين است كه براي هر بردار غير صفر V داشته باشيم. VTRV > 0 [3][17]-Eigenvector[18]-Eigenvalue[19]-Modal Matrix[20]-principal Axes[21]-Natural[22]-Transiated[23]-Stationary[24]-Locally Statioary[25]Block Adaptive[26]up –to- Date