فهرست مطالبعنوان صفحهفهرست مطالب هشتچکيده1فصل اول: مقدمه71-1 تاریخچه‌ای به روش‌های حل مسایل ارتعاش آزاد ورق‌ها81-2 روش المان محدود سلسله مراتبی211-2-1 مقدمه211-2-2 روش‌های المان محدود221-2-3 مروری بر کارهای انجام گرفته در زمینه روش المان محدود سلسله مراتبی231-2-4 ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی241-3 اهداف پژوهش25فصل سوم: تئوری‌های کلاسیک و تغییرشکل برشی مرتبه اول ورق262-1 مقدمه262-2 تعریف ماده عمودسانگرد272-3 تئوری کلاسیک ورق لایه لایه272-3-1 ميدان‌هاي جابجايي و کرنش282-3-2 رابطه‌هاي ساختاري تنش- کرنش292-3-3 فرمول‌بندی المان محدود302-3-4 ماتریس سختی312-3-5 تابعهای درونیاب لاگرانژی322-3-6 تابعهایشکل هرمیتی332-3-7 ماتریس جرم362-3-8 روش المان محدود سلسله مراتبی برای ورق تئوری کلاسیک382-3-9 تابعهای شکل سلسله مراتبی درون-صفحه382-3-10............................................................................. تابعهای شکل برون-صفحه412-3-11...................................................................... استخراج ماتریس سختی وجرم432-3-12......................................................... حل عددی ورق با تئوری کلاسیک ورق432-4 تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول512-4-1 ميدان‌هاي جابجايي و کرنش512-4-2 رابطه‌هاي ساختاري تنش- کرنش532-4-3 فرمول‌بندی المان محدود532-4-4 ماتریس سختی542-4-5 ماتریس جرم562-4-6 روش المان محدود سلسله مراتبی57فصل سوم: تئوری ورق دو‌متغیره پالوده شده603-1 مقدمه603-2 فرضیات اساسی613-3 رابطه‌های کرنش- جابجایی623-4 معادله‌های ساختاری تنش-کرنش633-5 معادله‌های حرکت653-6 فرمول‌بندی المان محدود683-6-1 ماتریس سختی693-6-2 ماتریس جرم723-7 روش المان محدود سلسله مراتبی برای تئوری ورق دو‌متغیره پالوده شده733-7-1 تابعهای شکل روش المان محدود سلسله مراتبی743-7-1 نتیجه‌گیری75نتیجه‌گیری و پیشنهاد874-1 نتیجه گیری874-2 پیشنهاد‌ها88روش المان محدود سلسله مراتبی89 پ-1-1 تابعهای شکل سلسله مراتبی.............................................................................................................................89پ-1-2 تابعهای شکل سلسله مراتبی یک‌بعدی..............................................................................................................92پ-1-3 تابعهای شکل سلسله مراتبی المان میله..............................................................................................................96پ-1-4 تابعهای شکل سلسله مراتبی المان تیر................................................................................................................98پ-1-5 تابعهای مثلثاتی یک‌بعدی.............................................................................................................................101پ-1-6 تابعهای شکل سلسله مراتبی دوبعدی (المان مستطیلی).....................................................................................102مراجع104 فهرست جدول‌ها جدول 3‑1-مقایسه ی تقریب همگرایی روش‌های المان محدود برای ورق مستطیلی همسانگرد تئوری کلاسیک ورق44جدول 3‑2-فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیSSSS45جدول 3‑3- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCCC46جدول 3‑4- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCSS46جدول 3‑5-فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبیبرای شرایط مرزیSFSF47جدول 3‑6-فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبیبرای شرایط مرزیCFCF47جدول 3‑7-فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبیبرای شرایط مرزیFFFF48جدول 3‑8-فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبیبرای شرایط مرزیCFFF48جدول 3‑9 فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد نامتقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک49جدول 3‑10-فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد متقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک50جدول 3‑11-مقایسه ی همگرایی فرکانس‌های بی‌بعد ورق مستطیلی همسانگرد بر پایه تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول58جدول 4‑1-مقایسه تعداد متغیرهای مجهول در تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر61جدول 4‑2-مقایسه‌ی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق مستطیلی عمودسانگرد تک‌لا بر پایه تئوری RPT76جدول 4‑3 مقایسه‌ی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد نامتقارن بر پایه تئوری RPT77جدول 4‑4- فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با .... 78جدول 4‑5- فرکانس طبیعی ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با ...... 79جدول 4‑6- مقایسه‌ی فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق نامتقارن 80جدول 4‑7- مقایسه‌ی فرکانس مبنای بی‌بعد برای یک ورق تک‌لا با شرایط مرزی مختلف()82 فهرست شکلهاشکل 1‑1تقریب خطی جابجایی در تئوری‌لایه‌لایه‌ایبرای مولفه‌های جابجایی لایه‌یI ام [59 ]11شکل 1‑2- يک ورق مستطيلي بر اساس فرض‌هاي تئوری کلاسیک، قبل و پس از تغییر شکل [59 ]12شکل 1‑3- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، قبل و پس از تغییر شکل][5913شکل 1‑4- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم، قبل و پس از تغییر شکل][5915شکل 1‑5- مقایسه کیفی جابجایی مولفه‌های درون-صفحه در راستای ضخامت ورق در تئوری‌های مختلف ورق ][5916شکل 3‑1-دستگاه مختصه‌هاي مادي و جهاني ورق مرکب تک‌لا][5930شکل 3‑2 المان مستطیلی چهار‌گرهی32شکل 3‑3یک المان مستطیلی ناهم‌دیس با سه درجه آزادی در هر گره [59 ]34شکل 3‑4یک المان مستطیلی هم‌دیس با چهار درجه آزادی در هر گره [59 ]35شکل 3‑5 چیدمان تابعهای درون-صفحه سلسله‌مراتبی المان مستطیلی به‌دست آمده از ضرب تابعهای شکل المان میله39شکل 3‑6 روش به‌دست آوردن تابعهای شکل دوبعدی سلسله مراتبی بامرتبه پیوستگی به‌صورت نمادین40شکل 3‑7 روش به‌دست آوردن تابعهای شکل دوبعدی سلسله مراتبیمرتبه پیوستگی به‌صورت نمادین42شکل 3‑8 چیدمان تابعهای برون-صفحه سلسله مراتبی المان مستطیلی به‌دست آمده از ضرب تابعهای شکل یک‌بعدی تیر42شکل 4‑1دستگاه مختصات و شماره‌گذاری لایه‌ها برای یک ورق لایه‌لایه61شکل 4‑2 وضعیت درجه‌های آزادی مرز المان مستطیلی برای شرط مرزی تکیه‌گاهی ساده نوع اول75شکل 4‑3 شرایط مرزی مختلف ورق مستطیلی][4281شکل 4‑4 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSSS83شکل 4‑5 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیCCCC83شکل 4‑6 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیFFFF84شکل 4‑7 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیCCFF84شکل 4‑8 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSCC85شکل 4‑9 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSCF85شکل 4‑10 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSFF86شکل 4‑11 جابجایی عرضی شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبی با شش تابع برای شرایط تکیه‌گاهیSSSF86شکل پ‑1یک میله تحت اثر نیروی حجمی b و تقریب آن با استفاده از روش‌های المان محدود استاندارد وسلسله مراتبی][61.......90شکل پ-2 نمایش تابعهای شکل سلسله مراتبی و مشتق اول آن‌ها ] [61............................................................................................93شکل پ-3 تابعهایشکل سلسله مراتبی المان میله ] [62....................................................................................................................97شکل پ-4 تابعهای شکل سلسله مراتبی المان تیر ][62..................................................................................................................100شکل پ-5 تابعهایشکل سلسله مراتبی مثلثاتی برای المان تیر] [62...............................................................................................102شکل پ-6 تابعهای شکل استاندارد لاگرانژی و سلسله مراتبی با یک‌چندجمله‌ای اضافه‌شده ][61...................................................103 چکیده در این پایان‌نامه تئوری‌های کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری دو‌متغیره پالوده شده برای مساله ارتعاش آزاد، با استفاده از روش‌های المان محدود استاندارد و المان محدود سلسله مراتبی بررسی می‌گردد. تئوری دو‌متغیره پالوده شده یک تئوری تک‌لای معادل است، که در آن برای بیان میدان جابجایی از دو مولفه‌ی خمشی و برشی استفاده می‌گردد و مولفه‌ی خمشی در نیرو‌های برشی تاثیرگذار نیست، درحالی که مولفه‌ی برشی نیز تاثیری در گشتاور‌های خمشی ندارد. با حذف مولفه‌ی برشی، این تئوری به تئوری کلاسیک ورق شبیه خواهد شد. هم‌چنین این تئوری تغییرات کرنش برشی در راستای ضخامت ورق را سهموی در نظر‌گرفته و بنابراین نیاز به ضریب اصلاح برشی نمی‌باشد. روش المان محدود سلسله مراتبی یک روش پالایش شبکه‌بندی المان است، که در آن با افزایش مرتبه تابعهای شکل به‌کار رفته برای تقریب جابجایی، در تعداد نقاط گرهی المان تغییری ایجاد نمی‌شود. در این پژوهش ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی و تابعهای شکل المان یک بعدی قابل استفاده، توضیح داده می‌شود، سپس روش استفاده از این تابع‌ها برای المان دوبعدی بیان می‌گردد. در ادامه فرمول‌بندی روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای تئوری‌های کلاسیک ورق لایه‌لایه به‌دست می‌آید و فرکانس‌ها برای شرایط مرزی گوناگون و با تغییر تعداد لایه‌ها با حل دقیق مقایسه می‌گردد. مشاهده می‌شود، که در روش المان محدود سلسله مراتبی با استفاده از درجه‌های آزادی کمتر، پاسخ‌های دقیق‌تری نسبت به روش المان محدود استاندارد به‌دست می‌آید. هم‌چنین فرمول‌بندی المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی برای تئوری تغییر شکل برشی مرتبه‌اول به‌دست می‌آید و اثر قفل برشی، با تغییر نسبت طول به ضخامت ورق بررسی می‌گردد. با استفاده از روش المان محدود سلسله‌مراتبی ضمن جلوگیری از اثر قفل برشی، نتیجه‌های فرکانس آزاد ورق از دقت بهتری نسبت به روش المان محدود استاندارد برخوردار است. پس از آن تئوری دو‌متغیره پالوده شده ورق ارایه گردیده و معادله‌های حرکت و فرمول‌بندی روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای آن به‌دست می‌آید. فرکانس‌های طبیعی در این تئوری برای ورق‌های عمودسانگرد لایه‌لایه متقارن و نامتقارن برای مودهای مبنا و بالاتر به روش حل دقیق، روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی به‌دست آمده است. با مقایسه نتیجه‌ها، برتری روش المان محدود سلسله مراتبی نسبت به روش المان محدود استاندارد مشاهده می‌گردد. سپس با تغییر پارامترهای مختلف ورق عمودسانگرد لایه‌لایه عمودچین و اریب‌چین مانند نسبت مدول‌های الاستیسیته، تغییر نسبت طول به ضخامت و تغییر نسبت طول به عرض برای شرایط تکیه‌گاهی مختلف ورق، رفتار این تئوری به روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی بررسی و با نتیجه‌های حل دقیق این تئوری مقایسه می‌گردد. کلمه‌های کلیدی: تئوری کلاسیک ، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ، تئوری دو‌متغیره پالوده شده، روش المان محدود استاندارد، روش المان محدود سلسله مراتبیفصل اول: مقدمهاستفاده از مواد مرکب در سازه‌های هوافضا، خودروسازی و دریانوردی کاربرد گسترده‌ای دارد. به‌طورکلی مواد مرکب از دو بخش رشته و زمینه تشکیل می‌شود. رشته‌ها معمولا سخت‌تر و قوی‌تر از زمینه هستند و بار اصلی در ماده مرکب را تحمل می‌کنند و زمینه به عنوان محافظ رشته‌ها و هم‌چنین وسیله توزیع بار است. زمینه و رشته‌ها در دما و فشار کنترل شده‌ای به یکدیگر می‌چسبند و ماده مرکب را به وجود می‌آورند که از نظر ویژگی‌های مکانیکی از هر دو ماده متفاوت است. مواد مرکب را می‌توان برای استحکام، سختی، خستگی و مقاومت در برابر گرما و بخار با تغییردر جهت الیاف بهینه‌سازی کرد. ویژگی دیگر مواد مرکب نسبت به مواد معمولی، نسبت استحکام به وزن بالای آن‌ها است. اجزای سازه‌ای نظیر تیر و ورق از طریق رویهم‌گذاری لایه‌ها در زاویه‌های مختلف به‌منظور دستیابی به ویژگی‌های مطلوب ایجاد می‌شوند.پدیده تشدید در اجزای سازه و سیستم‌های مکانیکی، عمر تجهیزات را کم می‌کند و حتی باعث شکست کامل و زودرس می‌گردد. تشدید، تحت تاثیر ویژگی‌های جرم و سختی سازه می‌باشد. آنالیز مودال، مودهای ارتعاشی و فرکانس‌های آن را به‌دست می‌آورد. این روش برای سازه‌های ساده قابل استفاده است. اما وقتی‌که سازه پیچیده می‌شود یا تحت بارگذاری‌های پیچیده قرار می‌گیرد، از روش تحلیل المان محدود برای به‌دست آوردن فرکانس‌های طبیعی و مودهای سیستم استفاده می‌گردد.شروع مطالعه رفتار ارتعاشی ورق‌ها به انتهای دهه 1800 باز می‌گردد، زمانی که ریلی روش معروف خود را برای بررسی ارتعاش آزاد سازه‌ها ارایه داد. [3] پس از آن ریتز در سال 1909 روش ریلی را با در نظر‌گرفتن مجموعه‌ای از تابعهای شکل آزمون بهبود بخشید، که هر‌کدام ضرایب دامنه مستقلی دارند. به این ترتیب روش ریلی-ریتز به یکی از روش‌های تقریبی پرکاربرد در زمینه بررسی رفتار ارتعاش سازه‌ها تبدیل شد. پس از آن، تحقیقات گسترده‌ای در زمینه ارتعاش ورق‌هایی با شکل‌های مختلف، شرایط مرزی و بارگذاری متفاوت صورت گرفت. بخش عمده‌ای از این مطالعه‌ها به ورق‌های نازک محدود می‌شود که در آن از اثر تغییر شکل‌های برشی صرف نظر شده است. [8]بر خلاف ورق‌های نازک، اثر تغییر شکل‌های برشی در ورق‌های ضخیم قابل ملاحظه است. صرف نظر‌کردن از اثر‌های برشی در این نوع ورق‌ها ، منجر به افزایش قابل ملاحظه مقدار فرکانس‌های ارتعاشی در جهت عدم اطمینان می‌شود. از این رو تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه اول[1] مانند تئوری ریزنر–میندلین و دیگر تئوری‌های تغییر شکل برشیمرتبه‌های بالاتر[2] توسط محققین مختلف برای بررسی رفتار ارتعاش ورق‌ها مورد استفاده قرار گرفته است.میندلین و همکارانش، ارتعاش ورق‌های مستطیلی ضخیم با شرایط مرزی چهار طرف مفصل و شرایط لوی را بررسی نمودند و حل تحلیلی آن‌ها را ارایه دادند. آن‌ها به این نتیجه رسیدند، که در ورق های چهار طرف مفصل سه دسته مود مستقل قابل حصول است. هم‌چنین در‌هم‌کنش سایر مودها برای ورقی با یک جفت مرز آزاد و جفت دیگر مفصلی مورد مطالعه قرار گرفت.نور [9] در سال 1973 به بررسی ارتعاش آزاد ورق‌های مرکب لایه‌لایه پرداخت. وی نتیجه‌های حاصل از تئوری کلاسیک ورق لایه‌لایه[3]، تئوری میندلین و تئوری الاستیسیته سه‌بعدی را با یکدیگر مقایسه نمود وبه این نتیجه رسید، که تئوری کلاسیک ورق برای تخمین رفتار ارتعاش ورق‌هایی با درجه عمودسانگردی بالا و نسبت ضخامت به طول بیشتر از 1/0 مناسب نیست. این در‌حالی‌است که نتایج تئوری میندلین، برای برآورد فرکانس‌های ارتعاش پایین در ورق‌های نسبتا ضخیم لایهلایهای با نسبت ضخامت به طول کمتر از2/0 رضایت‌بخش است.روش ریلی-ریتز در سال 1980 توسط داو و رانائل [10] برای ارتعاش آزاد ورق میندلین به‌کار برده شد. ایشان از تابعهای تیر تیموشینکوف به عنوان تابعهای شکل استفاده نمودند و ورق‌های مربعی با پنج ترکیب مختلف از شرایط مرزی را بررسی کردند. ایشان هم‌چنین این روش را برای حالتی بسط دادند که ورق تحت تنش‌های درون-صفحه‌ای است. براساس این روش لیو و همکارانش ارتعاش ورق‌های دایره‌ای و حلقوی شکل را برای شرایط مرزی متفاوت بررسی کردند. [11] این روش هم‌چنین در مطالعه ارتعاش ورق‌های متوازی الاضلاع و مثلثی با شرایط مرزی مختلف مورد توجه قرار گرفت.تعداد زیادی از محققین، از روش المان محدود در بررسی ارتعاش آزاد ورق‌ها بهره جستند. به عنوان مثال راک و هینتون][59 ، المان‌های خمشی چهار ضلعی هم پارامتری را به منظور تحلیل ارتعاش ورق‌های ضخیم ونازک معرفی نمودند. چونگ و کواک [12] ، المان‌های حلقوی و قطاع شکل را برای مطالعه ارتعاش آزاد ورق‌های لایهلایهای ضخیم با مرزهای منحنی شکل توسعه دادند. ردی و کوپاسامی[13] ، روش المان محدودی را براساس تئوری الاستیسیته سه بعدی برای ارتعاش آزاد ورق‌های لایهلایهای ناهمسانگرد مستطیلی ارایه داد.روش نوار محدود [4] FSMنیز به عنوان یکی از روش‌های پرکاربرد در زمینه حل مسایل مقادیر ویژه توسط بسیاری از محققین مورد استفاده قرار گرفته است. در مرجع [14] از تئوری‌های تغییر شکل برشی برای بررسی مسایل ارتعاش آزاد ورق‌های مرکب لایه‌لایه استفاده شده است.میدان جابجایی و تنش‌های عرضی، به‌دلیل حفظ شرایط همسازی و تعادل از شرایط پیوستگی نوع در راستای ضخامت ورق برخوردارند. بر این اساس، تئوری‌های مختلفی برای مسایل ورق و پوسته‌ها توسط محققین ارایه شده است. از میان انبوه تئوری‌های موجود، آن دسته از تئوری‌هایی که متغیرهای مجهول آن‌ها از جنس جابجایی هستند، براساس چگونگی تعریف مولفه‌های میدان جابجایی و مدل‌سازی پیوستگی بین لایه‌ها در دو گروه طبقه‌بندی می‌شوند.الف) تئوری‌های لایهلایهای [5]در این دسته از تئوری‌ها، میدان جابجایی درهر لایه به صورت مستقل تعریف می‌شود. بنابراین در لایه ام خواهیم داشتتعداد متغیرهای مجهول در این نوع فرمول‌‌سازی، بستگی به مقدار لایه‌ها دارد. معادله‌های حاکم برای هر لایه به صورت جداگانه نوشته می‌شود و شرایط مرزی بین لایه‌ای مرتبط با تنش‌ها و تغییر شکل‌ها به عنوان شرط‌های اضافی اعمال می‌گردند.در صورت اهمیت جزئیات رفتار هر یک از لایه‌ها به‌صورت جداگانه و یا احتمال بروز تغییرات شدید گرادیان مولفه‌های میدان جابجایی در بین لایه‌ها، لزوم استفاده از تئوری‌های لایهلایهای قابل توجیه است. اگرچه کاربرد آن‌ها منجر به افزایش تعداد مجهول‌های مساله و پیچیدگی بیشتر آن می‌گردد. تئوری‌های لایهلایهای برخلاف تئوری‌های تک‌لایه معادل، امکان ارضای پیوستگی تنش‌های عرضی در مرز بین لایه‌ها را فراهم می‌سازد. این تئوری‌ها به دو دسته عمده تقسیم می شوند:1) تئوری‌های لایهلایهای جزیی[6]دراین تئوری‌ها توزیع لایه‌ای تنها برای مولفه‌های درون-صفحه‌ای میدان جابجایی در نظر گرفته می‌شود.2) تئوری‌های لایهلایهای کامل[7]که در آن هر سه مولفه جابجایی در هر لایه به صورت جداگانه تعریف می‌شوند.تئوری‌های لایهلایهای قابلیت بیان تغییرات زیگزاگی مولفه‌های جابجایی درون-صفحه‌ای را در راستای ضخامت ورق دارند. این رفتار زیگزاگی در ورق‌های لایهلایهای ضخیم آشکارتر است، به دلیل این‌که در آن‌ها مدول برشی عرضی تغییرات شدیدی در راستای ضخامت ورق دارد. تعداد بسیاری از این دسته از تئوری‌ها در مراجع][59 و ][6 یافت می‌شود. به‌عنوان نمونه، کو و همکاران][8، تئوری لایهلایهای درجه‌های بالایی را به فرم زیر برای آنالیز دینامیکی ورق‌های لایهلایهای به‌کار برده‌اند. نثیر و همکاران،[7] شکل تعمیم‌یافته‌ای از این نوع تئوری‌ها را با بیان متغیرهای جابجایی براساس چند‌جمله‌ای‌های لاگرانژی ارایه دادند. ب) تئوری‌های تک‌لایه معادل [8]در این روش همه‌ی ورق لایه‌لایه، به‌عنوان یک لایه معادل در نظر گرفته شده است و مولفه‌های میدان جابجایی به فرم زیر بیان می‌شوند.در ادامه به‌منظور آشنایی بیشتر با تئوری‌های ورق، مروری بر تئوری کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر خواهد گردید و در پایان مقاله‌های مرتبط با تئوری دو‌متغیره پالوده شده بیان می‌گردد. 1)تئوری کلاسیک ورق‌های لایه‌لایه ایاین تئوری فرم توسعه یافته تئوری معروف کلاسیک ورق برای ورق‌های مرکب لایه‌ای است. در این تئوری میدان جابجایی به شکل زیر بیان می‌گردد.