.كلمات كليدي: تیر ترکدار، فرکانس طبیعی، ارتعاش آزاد.فهرست مطالبفصل 1...... - مقدمه و مرور کارهای انجام شده161-1 مقدمه171-2 تاریخچه مطالعات و مرور کارهای انجام شده171-3 انواع مدل سازی های ترک201-4 بیان مسئله مدل سازی ترک باز201-5 اهداف و مسائل بررسی شده در پایان نامه21فصل 2. - مدل سازی خطی و غیر خطی ترک و بررسی معادلات حرکت222-1 مقدمه232-2 معادلات ارتعاش آزاد232-2-1 تئوری اویلر - برنولی232-2-2 تئوری تیموشنکو322-2-3 بررسی تیر شامل چند ترک412-2-4 ترک با شکل های هندسی مختلف:452-3 مدل سازی ترک باز و بسته شونده502-3-1 مدل سازی ترک ساختار منحني512-3-2 بررسی ترک v- شکل612-3-3 حل مسئله با روش میانگین گیری66فصل 3............................................................................................... - نتایج مدل سازی713-1 مقدمه723-2 نتایج ترک باز ساده723-2-1 تیر با نسبت های مختلف عمق ترک723-2-2 تیر با نسبت های مختلف طول دهانه ترک753-2-3 بررسی اثر تغییر موقعیت ترک783-3 بررسی اثر تعداد ترک813-3-1 بررسی نتایج به ازای عمق و طول دهانه ثابت و موقعیت های متفاوت823-3-2 بررسی نتایج به ازای موقعیت و طول دهانه ثابت و عمق های متفاوت833-3-3 بررسی نتایج به ازای موقعیت و عمق ثابت و طول دهانه های متفاوت853-4 بررسی تیر با شکل های هندسی مختلف873-4-1 ترک بیضی شکل873-4-2 ترک سهمی شکل913-4-3 ترک مثلثی923-5 ترک باز و بسته شونده 953-5-1 ترک منحنی با ساختار دایره ای شکل963-6 شکل مود، شکل شیب، گشتاور خمشی و نیروی برشی1063-7 اعتبار سنجی نتایج مدل های پیشنهادی1113-7-1 ترک باز ساده1113-7-2 ترک مثلثی شکل1123-7-3 ترک باز و بسته شونده115فصل 4......................................................................... - نتیجه گیری و پیشنهادات1174-1 نتیجه گیری118 فهرست اشکالشکل 2‑1:الف) تیر به طول با یک ترک به عمق در موقعیت نشان داده شده. ب)همان تیر با فنر پیچشی جایگزین ترک با سفتی . 23شکل 2‑2: تیر ترکدار به طول ،ارتفاع ، عمق ترک و طول دهانه 24شکل 2‑3 تیر دو سر گیر دار27شکل 2‑4: تیر یک سر گیر دار – یک سر آزاد31شکل 2‑5 تیر دو سر لولا31شکل 2‑6: تیر گیردار – مفصل برشی (در مفصل برشی، شیب و نیروی برشی صفر است.)32شکل 2‑7 : تیر به طول ,شامل دو ترک به عمق وارتفاع و طول دهانه ترک . 41شکل 2‑8 تیربه طول ,شامل سه ترک به عمق وارتفاع و طول دهانه ترک . 42شکل 2‑9 : تیربه طول , وارتفاع ، شامل یک ترک مثلثی به عمق و طول دهانه ترک . 48شکل 2‑10 : تیربه طول , وارتفاع ، شامل یک ترک بیضوی به عمق و طول دهانه ترک . 48شکل 2‑11 : تیربه طول , وارتفاع ، شامل یک ترک سهموی به صورت عمودی به عمق و طول دهانه ترک. 50شکل 2‑12 : تیر به طول , وارتفاع ، شامل یک ترک سهموی به صورت افقی به عمق و طول دهانه ترک . 50شکل 2‑13 : تیر ترکدار با ترک منحنی شکل با شعاع انحناهای متفاوت، عمق و طول وجه 51شکل 2‑14 ترک با ساختار منحنی دایره ای شکل به شعاع انحنایدر دو طرف و زاویه اولیه و طول دهانه . 51شکل 2‑15 : موقعیت نقاط ابتدا و انتهای ترک و نیز تغییرات هندسه ترک در حین ارتعاش53شکل 2‑16 ترک با ساختار v-شکل و مشخصات هندسی61شکل 2‑17 : ترک با ساختار v- شکل در حین ارتعاش در هنگام بسته شدن.62شکل 3‑1 : تغییر فرکانس طبیعی تیر دوسر گیردار به ازای و موقعیت..... 96شکل 3‑2: تغییر زاویه ترک تیر دوسر گیردار در حین ارتعاش به ازای و موقعیت ..... 97شکل 3‑3: تغییرات فرکانس طبیعی تیر دوسر گیردار در حین ارتعاش به ازای عمق های مختلف ترک و موقعیت ..... 97شکل 3‑4: تغییرات فرکانس طبیعی تیر دوسر گیردار در حین ارتعاش در موقعیت های مختلف به ازای .98شکل 3‑5: تغییر فرکانس طبیعی تیر یکسر گیردار به ازای و موقعیت.99شکل 3‑6: تغییر زاویه ترک تیر یکسر گیردار در حین ارتعاش به ازای و موقعیت.99شکل 3‑7: تغییرات فرکانس طبیعی تیر یکسر گیردار به ازای نسبت عمق های مختلف و موقعیت.100شکل 3‑8: تغییرات فرکانس طبیعی تیر یکسر گیردار به ازای موقعیت های مختلف و عمق ترک .100شکل 3‑9: تغییرات فرکانس طبیعی تیر دو سر لولا به ازای و موقعیت .101شکل 3‑10: تغییر زاویه ترک تیر دو سر لولا در حین ارتعاش برای و موقعیت .101شکل 3‑11: تغییر فرکانس طبیعی تیر دو سر لولا در حین ارتعاش به ازای عمق های مختلف و موقعیت .102شکل 3‑12: تغییر فرکانس طبیعی تیر دوسر لولا در حین ارتعاش به ازای موقعیت های مختلف و .102شکل 3‑13: تغییر فرکانس طبیعی مود دوم تیر دوسر گیردار به ازای و موقعیت .103شکل 3‑14: تغییر زاویه ترک در حالت دو مود برای تیر دوسر گیردار در حین ارتعاش به ازای و موقعیت .103شکل 3‑15: تغییر فرکانس طبیعی تیر دوسر لولا در حالت دو مود به ازای عمقو موقعیت .104شکل 3‑16: تغییر زاویه ترک تیر دوسر لولا در حالت دو مود به ازای عمق و موقعیت .104شکل 3‑17: تغییر فرکانس طبیعی دوم تیر دوسر لولا به ازای عمق های مختلف و موقعیت .105شکل 3‑18: تغییر فرکانس طبیعی دوم تیر لولا-مفصل برشی به ازای عمقو موقعیت.105شکل 3‑19: تغییر زاویه ترک تیر لولا-مفصل برشی در مود دوم به ازای عمقو موقعیت.106شکل 3‑20: تغییر فرکانس طبیعی دوم تیر لولا-مفصل برشی به ازای عمق های مختلف و موقعیت .106شکل 3‑21: شکل مد اول و دوم تیر دو سرگیردار به ازای عمق ترک الف)، ب).107شکل 3‑22: شکل شیب اول و دوم تیر دو سرگیردار به ازای عمق ترک الف) ، ب).108شکل 3‑23: گشتاور خمشی مد اول و دوم تیر دو سرگیردار به ازای عمق ترک الف) ، ب).108شکل 3‑24: نیروی برشی مد اول و دوم تیر دو سرگیردار به ازای عمق ترک الف) ، ب).109شکل 3‑25: شکل مد اول و دوم تیر یک سرگیردار به ازای عمق ترک الف) ، ب).109شکل 3‑26: شکل شیب اول و دوم تیر یک سرگیردار به ازای عمق ترک الف)، ب) .110شکل 3‑27: گشتاور خمشی مد اول و دوم تیر یک سرگیردار به ازای عمق ترک الف) ، ب) .110شکل 3‑28: نیروی برشی مد اول و دوم تیر یک سرگیردار به ازای عمق ترک الف) ، ب).111شکل 3‑29: مقایسه نتایج بدست آمده از روش پیشنهادی با نتایج تجربی در مرجع [18] و روش المان محدود مرجع [20].112شکل 3‑30: مقایسه نسبت فرکانسی پایه بدست آمده بر اساس روش پیشنهادی با نتایج تحلیلی مرجع [20].113شکل 3‑31: مقایسه نسبت فرکانسی سوم بدست آمده بر اساس روش پیشنهادی با نتایج تحلیلی مرجع [20].113شکل 3‑32: مقایسه شکل مود اول ارتعاشی تیر دو سر لولا به ازای عمق ترک و موقعیت ترک ..... 114شکل 3‑33: مقایسه شکل مود دوم ارتعاشی تیر دو سر لولا به ازای عمق ترک و موقعیت ترک ..... 114شکل 3‑34: مقایسه شکل مود سوم ارتعاشی تیر دو سر لولا به ازای عمق ترک و موقعیت ترک ..... 115شکل 3‑35: مقایسه نتایج بدست آمده از مدل ارائه شده با داده های آزمایشگاهی و مدل تحلیلی در مرجع [69]116 فهرست جداولجدول 3‑1: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر دو سر گیردار با عمق های مختلف و موقعیت ترک و طول دهانهو مقایسه نتایج با روش متعارف و تیر سالم73جدول 3‑2: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر یکسر گیردار با عمق های مختلف و موقعیت ترک و طول دهانهو مقایسه نتایج با روش متعارف و تیر سالم73جدول 3‑3: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر گیردار-مفصل برشی با عمق های مختلف و موقعیت ترک و طول دهانهو مقایسه نتایج با روش متعارف و تیر سالم74جدول 3‑4: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر دو سر لولا با عمق های مختلف و موقعیت ترک و طول دهانهو مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم74جدول 3‑5: فرکانس های طبیعی تیر دو سر گیردار با طول های مختلف دهانه ترک و موقعیت ترک و عمق ترک و مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم75جدول 3‑6: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر یکسر گیردار با طول های مختلف دهانه ترک و موقعیت ترک و عمق ترک و مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم76جدول 3‑7: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر گیردار- مفصل برشی با طول های مختلف دهانه ترک و موقعیت ترک و عمق ترک و مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم77جدول 3‑8: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر دو سر لولا با طول های مختلف دهانه ترک و موقعیت ترک و عمق ترک و مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم77جدول 3‑9: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر دو سر گیردار با موقعیت های مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم78جدول 3‑10: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر یک سر گیردار با موقعیت های مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقایسه نتایج با روش متعارف و تیر سالم79جدول 3‑11: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر دو سر لولا با موقعیت های مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم80جدول 3‑12: فرکانس های طبیعی مربوط به تیر گیردار- مفصل برشی با موقعیت های مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقایسه این نتایج با روش متعارف و تیر سالم81جدول 3‑13: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار و تیر یک سر گیردار به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 82جدول 3‑14: فرکانس های طبیعی تیر گیردار-مفصل برشی و تیر لولا- مفصل برشی به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 82جدول 3‑15: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار و تیر یک سر گیردار به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 83جدول 3‑16: فرکانس های طبیعی تیر گیردار-مفصل برشی و تیر لولا- مفصل برشی به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 83جدول 3‑17: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار و تیر یک سر گیردار به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 84جدول 3‑18: فرکانس های طبیعی تیر گیردار-مفصل برشی و تیر لولا- مفصل برشی به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 84جدول 3‑19: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار و تیر یک سر گیردار به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 84جدول 3‑20: فرکانس های طبیعی تیر گیردار-مفصل برشی و تیر لولا- مفصل برشی به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 85جدول 3‑21: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار و تیر یک سر گیردار به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 85جدول 3‑22: فرکانس های طبیعی تیر گیردار-مفصل برشی و تیر لولا- مفصل برشی به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 86جدول 3‑23: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار و تیر یک سر گیردار به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 86جدول 3‑24: فرکانس های طبیعی تیر گیردار-مفصل برشی و تیر لولا- مفصل برشی به ازای و طول دهانه ترک و موقعیت های ................................ 87جدول 3‑25: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار با ترک بیضی شکل به ازای عمق های مختلف ترک و نسبت های مختلف قطر و موقعیت ترک در میانه تیر88جدول 3‑26: فرکانس های طبیعی تیر یک سرگیردار با ترک بیضی شکل به ازای عمق های مختلف ترک و نسبت های مختلف قطر و موقعیت ترک در میانه تیر88جدول 3‑27: فرکانس های طبیعی تیر دو سر لولا با ترک بیضی شکل به ازای عمق های مختلف ترک و نسبت های مختلف قطر و موقعیت ترک در میانه تیر89جدول 3‑28: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار با ترک بیضی شکل به ازای موقعیت های مختلف ترک و نسبت های مختلف قطر و عمق ترک 89جدول 3‑29: فرکانس های طبیعی تیر یک سرگیردار با ترک بیضی شکل به ازای موقعیت های مختلف ترک و نسبت های مختلف قطر و عمق ترک 90جدول 3‑30: فرکانس های طبیعی تیر دو سر لولا با ترک بیضی شکل به ازای موقعیت های مختلف ترک و نسبت های مختلف قطر و عمق ترک 90جدول 3‑31: فرکانس های طبیعی تیر با شرایط مرزی مختلف با ترک سهمی شکل به ازای عمق های مختلف ترک و نسبت های مختلف و موقعیت ترک در میانه تیر91جدول 3‑32: فرکانس های طبیعی تیر با شرایط مرزی مختلف با ترک سهمی شکل به ازای عمق های مختلف ترک و نسبت های مختلف و موقعیت ترک در میانه تیر92جدول 3‑33: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار با ترک مثلثی به ازای عمق های مختلف ترک و مقادیر مختلف و موقعیت ترک در میانه تیر92جدول 3‑34: فرکانس های طبیعی تیر یک سرگیردار با ترک مثلثی به ازای عمق های مختلف ترک و مقادیر مختلف و موقعیت ترک در میانه تیر93جدول 3‑35: فرکانس های طبیعی تیر دو سر لولا با ترک مثلثی به ازای عمق های مختلف ترک و مقادیر مختلفو موقعیت ترک در میانه تیر93جدول 3‑36: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار با ترک مثلثی به ازای موقعیت های مختلف ترک و مقادیر مختلف و عمق ..... 94جدول 3‑37: فرکانس های طبیعی تیر یک سرگیردار با ترک مثلثی به ازای موقعیت های مختلف ترک و مقادیر مختلف و عمق ..... 94جدول 3‑38: فرکانس های طبیعی تیر دو سر لولا با ترک مثلثی به ازای موقعیت های مختلف ترک و مقادیر مختلف و عمق ..... 95جدول 3‑39: مقایسه نتایج روش پیشنهادی بامدل آزمایشگاهی در مرجع [68]111 فصل 1 مقدمه و مرور کارهای انجام شده 1-1 مقدمهیکی از مشکلات مهم در تیرها و محورها وجود ترک در آن هاست. این ترک ها اغلب به واسطه خستگی به وجود می آیند و یکی از عوامل، در بروز خرابی ها در محورها می باشند. وجود ترک سبب تغییر در مشخصه های ارتعاشی می شود و محققان دریافته اند که، اغلبِ دامنه این ارتعاشاتِ ساختارهای ترکدار، بستگی به عمق، موقعیت و شکل ترک نسبت به شکل مودهای سیستم دارد. از این رو یک تحقیق جامع و دقیق در مورد ارتعاشات ساختارهای ترکدار بسیار ضروری است. در سال های اخیر تلاش های زیادی در راستای حل تحلیلی برای اینگونه مسائل صورت گرفته است. ایجاد خرابی های ناگهانی در سازه ها محققین را به سمت تحقیق روی دینامیک سازه ها سوق داده است. از این رو بررسی و تحقیق در مورد پاسخ زمانی، شکل مود، شکل شیب و مهمتر از همه اندازه گیری فرکانس طبیعیِ سازه ترکدار می تواند به عنوان یک شاخص در تحقیقات در نظر گرفته شود.هدف از این پروژه ارائه روشی ساده و کاربردی برای پیدا کردن فرکانس های طبیعی یک تیر ترکدار با در نظر گرفتن تأثیر همه پارامترهای مربوط به ترک، بدون استفاده از روابط مربوط به مکانیک شکست می باشد. همچنین در قسمت مدل سازی ترک باز و بسته شونده، هدف مدل سازی ارائه مدلی است که تاثیر همه پارامترهای ترک در آن لحاظ شده و بتوان با استفاده از آن فرکانس طبیعی تیر را در حین ارتعاش بدست آورد.وجود ترک در سازه ها باعث کاهش سفتی و تغییر در خصوصیات دینامیکی مانند کاهش فرکانس طبیعی و تغییر در شکل های مودی می شود[1و2]. در سال 1998 چندروس[1] و همکارانش، مسأله را برای تیر ترکدار یک لبه و دو لبه، به صورت جامع بررسی کردند[3]. برخی کوشیده اند تا با روش های عددی به مسأله بپردازند[4-10].در حل عددی مسأله نیز پارامترهایی نظیر فرکانس طبیعی، ضریب تمرکز تنش و شکل های مودی مورد بررسی قرار گرفته اند.برای توضیح رفتار دینامیکی سازه های آسیب دیده روش های تحلیلی متعددی به کار گرفته شده است. برای مدل سازی ترک نیز، مدلهای بسیاری ارائه شده است؛ که این مدل سازیها را می توان در سه گروه دسته بندی کرد. برخی کوشیده اند تا با در نظر گرفتن کاهش سفتی موضعی در سازه مسئله را حل کنند[11]. این مدل بر اساس روش المان محدود استوار است. هایستی و اسپرینگر[2][12]، گوناریس و دیماروگیناس[3][13]، تحقیقات خوبی را در مورد بررسی اثر ترک روی یک ناحیه از تیر ترکدار با استفاده از تعمیم روش المان محدود انجام داده اند. ابراهیم [14] با ارائه یک مدل الاستو-پلاستیک به بررسی تغییر شکل ترک در رأس آن پرداخت. برخی دیگر تلاش کرده اند تا نرمی نسبی موضعی ایجاد شده را تخمین بزنند [15]. در این رویکرد بخش آسیب ندیده سازه با استفاده از روش های استاندارد مانند[4]FEM یا معادلات مشقات جزئی و ترکیب اجزای محدود مدل شده و ترک با یک فنر انعطاف پذیر نشان داده می شود. با استفاده از ماتریس سازگاری عبارات و معادلات برای میزان انرژی کرنشی آزاد شده و یا ضریب تمرکز تنش بدست می آید. کیزمسر[5][16] و همکارانش جزء اولین بررسی کننده های این موضوع بودند. آنها اثر ترک را توسط نیروها یا گشتاورهای معادل در موقعیت ناپیوستگی سازه بررسی کردند. دیماروگیناس [17] ثابت های ماتریس سازگاری را بر اساس روابط مکانیک شکست بدست آورده و از آن برای آنالیز ارتعاش استفاده کرد. کریستیدزمد و بار[6] [18] به شکل عمده ای مدل های مختلف را برای بررسی ارتعاشات عمودی یک تیر ترکدار دولبه متقارن و بررسی ارتعاشات پیچشی یک میله ترکدار بر اساس تئوری اویلر-برنولی گسترش دادند. مدلهای ارائه شده توسط کریستیدز و بار، در سالهای اخیر توسط شِن و پیِر[7][19-20-21] بهبود و گسترش داده شد. آنها ابتدا تخمینی از پارامتر آسیب دیده با استفاده از مدلهای المان محدود دو بعدی ارائه کرده و سپس با اعمال ایده های مشابه به توسیع و گسترش مدلهای قبلی برای تیر ترکدار پرداخته اند. چندروس و دیماروگیناس [22-23-24] رویکردی مشابه ارائه کردند اما در بررسی های آنها که به آن تابع ترک گفته می شود از روابط انرژی و مفاهیم مکانیک شکست استفاده شده است. در این رویکرد تلاش شده است تا ایده های کریستیدز و بار را با دیماروگیناس ترکیب کنند. رویکرد سوم، چشم پوشی از اثر برش در مقطع است و ارائه یک مدل پیوسته از تیر ترکدار است که با این فرض می توان ترک را با یک فنر پیچشی جایگزین کرد. هر دو روش نرمی نسبی و مدل پیوسته، توصیفی از سازه را وقتی که ترک به صورت باز در نظر گرفته می شود ارائه می کند. عموما در تحلیل ها ترک را از نوع باز در نظر می گیرند تا از اثرات غیرخطی بودن مسأله که ناشی از باز و بسته شدن ترک می باشد، صرف نظر کنند. برخی مطالعات آزمايشگاهی نيز برای بررسی درستی مدل ها انجام شده است. در اکثر موارد ترک ها با ايجاد يک برش ريز درنمونه ايجاد شده است. برخی از نتايج آزمايشگاهی توسط آدامز و کولی[8] [25]، و همچنين روتولو[9] [26]، برای چند ترک ارائه شده است. رفتار غیرخطی ترک، با استفاده از روش پرتوربیشن[10] توسط بسیاری از محققان مانند گودموندسون[11] [27]، یاسینسکی [28]، پلاختینکو و یاسینسکی[12] [29] و بالو[13] [30] انجام پذیرفته است. جاسیمت [31] به بررسی ارتعاش تیر ترکدار یکسرگیردار و الشودیفات [32] با استفاده از رویکرد المان محدود به بررسی ارتعاش روتور ترکدار پرداختند. روش تعادل هارمونیک برای حل معادلات حرکت و آنالیز رفتار دینامیکی سیستم استفاده می شود. بررسی رفتار دینامیکی یک تیر ترکدار با یک ترک با در نظر گرفتن تغییر شکل برشی و سفتی محوری توسط گومز و آلمیدا[14] [33] ارائه شده است. کادمی و مورراسی[15] [34] به بررسی مدل سازی ریاضی و حل دقیق یک تیر با چند ترک بر اساس تئوری اویلر- برنولی پرداختند. بسياری از مطالعاتی که در مورد تيرهای شامل چند ترک انجام شده است، مسأله مستقيم يعنی تعيين فرکانسهای تير با چند ترک را بررسی نموده اند. اما مقالاتی نيز[35-38]، مسأله معکوس يعنی رديابی ترک از روی پاسخ ديناميکی تير را بررسی نموده اند.مسأله رديابی چند ترک از پيچيدگی بسيار بيشتری نسبت به تعيين موقعيت و اندازه يک ترک در طول تير برخوردار است. برای حل اين مسأله چوی[16]و همكارانش [39]، اثر ترک را به صورت کاهش صلبيت خمشی تير، در اطراف ترک مدل کرده و حل را به کمک روش ماتريس انتقال بدست آورده اند. محققان ديگری به سرپرستی ژنگ[17] [40، 41]، از روش سری فوريه اصلاح شده استفاده کرده‌اند. اغلب تحقیقات انجام شده در مورد تیر ترکدار با استفاده از تئوری اویلر- برنولی برای شرایط مرزی مختلف انجام شده است[42-45]. در این میان گروهی با بهره گیری از تئوری تیموشنکو به ارائه مدل و بررسی تیر ترکدار پرداخته اند. له له و مایتی[18] [46] معادله مشخصه، برای تیر ترکدار تیموشنکو را با یک دترمینان مرتبه هشت بیان کردند. دسته دیگری از تحقیقات انجام شده در مورد تیر ترکدار، بررسی ارتعاشات، هنگام عبور بار متحرک است. زیبده[19] [47] مسئله را برای بار متحرک تصادفی در تیر، تحت اثر بار محوری بررسی کرد. روش دامنه زمان، مودال و روش تحلیل فرکانسی ازروش های مورد بررسی در این تحقیقات هستند. میچالتسوس[20] [48] رفتار دینامیکی تیر ساده اویلر- برنولی یک لبه را در اثر عبور یک بار متمرکز با محتوای حرکت متفاوت بررسی کرد. در این تحقیق اثر تغییر سرعت و همچنین شتاب دار شدن حرکت در عبور بار بررسی شده است. ابو هلال[21][49] در سال 2006 پاسخ تیر دولبه را در عبور یک بار ثابت بررسی کرد. سیسمک و کوکاتورک[22] [50] تیر سالم اویلر- برنولی را در عبور یک بار هارمونیک مورد بررسی قرار دادند. در تحقیق ذکر شده رفتار سازه در مقطع تیر به صورت یک تابع نمایی فرض شده است. این رفتار سازه در اصطلاح FGM[23] نامیده می شود. یانگ و همکارانش[24] [51] با فرض رفتار تابعی سازه، تیر ترکدار اویلر- برنولی را مورد بررسی قرار دادند. مبنای بخش عمده ای از تحقیقات اخیر در هر دو روش تحلیلی و عددی، تغییر در فرکانس های طبیعی[52-58]، اندازه گیری نرمی دینامیکی[59-60] یا مقایسه شکل های مودی [61-64] بوده است. در میان رویکردهای ذکر شده، بررسی تغییر در فرکانس های طبیعی به واسطه سهولت نسبی در به کارگیری، هزینه و سرعت در تحلیل نتایج، روش معمول تری است[53-60]. در بیشتر تحقیقات انجام شده در مورد تیر ترکدار، ترک را با یک فنر پیچشی (دورانی) بدون جرم، مدل کرده و تیر را در موقعیت ترک به دو قسمت تقسیم کرده که توسط این فنر پیچشی به یکدیگر متصل می شوند. سفتی این فنر توسط روابط موجود در مکانیک شکست محاسبه شده که تنها به عمق ترک وابسته است و سایر پارامترها مانند موقعیت و طول دهانه ترک، در نظر گرفته نمی شود. بررسی تحقیقات اخیر برای سازه های آسیب دیده نشان می دهد که مسأله ترک در تیر و تشخیص آن با روش های مبتنی بر ارتعاشات، طی سه دهه اخیر مورد علاقه محققین بسیاری بوده است [61-66].