چكيدهدر مباحث ریاضیات مالی، اختيارمعامله هاي آمريكايي به قراردادهاي مالي اطلاق میشود كه در هر زمان قبل از سررسيد قابل اجرا باشند. ولی از آن جایی که، برای ارزش گذاری بسیاری از قراردادهای اختیارمعامله مثل اختیارمعامله ی آمریکایی، جواب تحلیلی وجود ندارد لذا تلاش هایی برای یافتن راه حل های مبتنی بر روش های عددی، مانند مونت کارلو، صورت گرفته است. روش هاي مونت كارلو مشكل پيچيدگي نمايي زمان را ندارد، بنابراین تصور می شود که روش مناسبی برای ارزش گذاری قرادادهای اختیارمعامله باشند. ولی مطالعات نشان داده است به علت این كه شبيه سازي مونت كارلو حركتي رو به جلو است در حالي كه ارزشگذاري اختيارمعاملات آمريكايي فرآيند برگشت به عقب، اعمال روش های مونت کارلو ممکن است باعث بروز برخی مشکلات شود. همچنين در اين پايان نامه رويكردي براي ارزش گذاري اختيارمعامله هاي آمريكايي و برمودايي در حالت گسسته ارائه شده است. در اين رويكرد از اين واقعيت استفاده شده است كه هر اختيارمعاملهي آمريكايي و برمودايي با اختيارمعاملهي اروپايي توأم با فرآيند مصرف معادل است. در حقيقت با استفاده از شبيه سازي مونت كارلو مي توان دو كران بالا و پايين براي ارزش واقعي اختيارمعاملهي برمودايي پيدا كرد، و با انتخاب مناسب كران هاي پايين موضعي و استفاده از تكنيك درون يابي هستهاي، كارآيي اين روش را بالا برد .كلمات كليدي : اختيارمعاملههاي آمريكايي و برمودايي، كران هاي بالا و پايين، شبيه سازي مونت كارلو، فرآيند مصرف علائم دارايي ام در زماندارايي ام در زمانجبراني اختيارمعامله ارزش اختيارمعامله در زمانكران پايين براي ارزش واقعي اختيارمعامله در زمانكران بالا براي ارزش واقعي اختيارمعامله در زمانفرآيند مصرف در زمانEEP سود اجرای زودرسPDEمعادله ی دیفرانسیل تصادفی فهرست فصل1: مقدمه 1-1تاریخچه..............................................................................................1 1-2 اختیارمعاملات......................................................................................21-3 شبیه سازی مونت کارلو..........................................................................3 1-4 اختیارمعاملات آمریکایی..........................................................................31-5 اختیارمعاملات غیرمعمول..........................................................................41-6 اختیارمعاملهی برمودایی...........................................................................4 1-7 مطالب آمده در این پایان نامه.....................................................................5فصل 2: نظریهی بازارهای مالی 2-1 حرکت براونی........................................................................................8 2-1-1 خواص حرکت براونی................................................................9 2-1-2 حرکت براونی توأم با رانش.......................................................10 2-1-3 حرکت براونی هندسی...............................................................11 2-2 فرض های معمول در بازارهای مالی............................................................11 2-2-1 مفروضات مدل بلک-شولز...........................................................11 2-2-2 عوامل تأثیرگذار بر ارزش اختیارمعامله.............................................12 2-2-3 تفسیر پارامترها...........................................................................12 2-3 مشتقات مالی........................................................................................13 2-4 تعاریف مورد نیاز.................................................................................13 2-5 محاسبات بر اساس بازار بدون آربیتراژ........................................................14 2-5-1 فرمول بلک-شولز..........................................................................16 2-5-2 شبیه سازی تحت فرض بازار بدون آربیتراژ...........................................16 2-6 محاسبات تحت اندازه های ریسک-خنثی......................................................17 2-6-1 ارزش گذاری اختیارمعاملات آمریکایی تحت اندازه ی ریسک-خنثی..........20 2-7 شبیه سازی حرکت ارزش سهام.................................................................20 2-7-1 شبیه سازی در حالت دارایی های چندگانه...........................................21فصل 3: اختیارمعاملات آمریکایی و برمودایی 3-1 نظریهی محاسبه ی ارزش اختیارمعاملات آمریکایی........................................22 3-1-1 تعاریف....................................................................................22 3-1-2 عمل تنزیل در زمان های گسسته......................................................23 3-1-3 مدل سازی با شرایط مرزهای آزاد....................................................24 3-1-4 مدل برنامه نویسی پویا...................................................................25 3-1-5 مدل سازی قانون توقف بهینه...........................................................26 3-1-6 سود اجرای زودرس......................................................................27 3-2 روش های ارزش گذاری اختیارمعاملات آمریکایی..........................................28 3-2-1 برآوردها و مدل ها..........................................................................29 3-2-2 روش های شبکه ای و تفاضل های متناهی.............................................29 3-2-3 شبیه سازی های مونت کارلو............................................................30فصل 4: روش های مونت کارلو برای ارزش گذاری اختیارمعاملات آمریکایی 4-1 پارامتری کردن مرز اجرای اختیارمعامله........................................................32 4-1-1 نکات قابل توجه ............................................................................33 4-2 درخت تصادفی......................................................................................33 4-2-1 برآوردگر بالایی..............................................................................34 4-2-2 برآوردگر پایینی..............................................................................34 4-2-3 نکته............................................................................................34 4-3 فاصلهی زمانی کوتاه تصادفی....................................................................34 4-3-1 تولید نقاط گره ای...........................................................................35 4-3-2 محاسبهی وزن فاصلهی زمانی کوتاه..................................................35 4-3-3 برآوردگر بالایی..............................................................................36 4-3-4 برآوردگر پایینی..............................................................................36 4-3-5 نکته............................................................................................37 4-4 روش پایه ای رگرسیون............................................................................37 4-4-1 برآوردگر پایینی..............................................................................38 4-4-2 نکته............................................................................................39 4-5 روش دوگان..........................................................................................39 4-5-1 مارتینگل های حاصل از توابع برآوردگر...............................................40 4-5-2 مارتینگل حاصل از قوانین توقف........................................................41فصل 5 : ارزش گذاری اختیارمعامله ی آمریکایی و برمودایی در حالت گسسته5-1 رویکرد بر اساس فرایندهای مصرف.............................................................42 5-1-1 پوش اسنل...................................................................................42 5-1-2 ارزش ادامه، دامنهی ادامه و اجرای اختیارمعامله....................................43 5-1-3 معادل بودن اختیارمعاملهی آمریکایی با اختیارمعامله ی اروپایی توأم با فرایند مصرف..........................................................................................45 5-1-4 تولید کران های بالا و پایین با استفاده از فرایندهای مصرف.......................46 5-1-5 اختیارمعامله های برمودایی.................................................................50 5-2 فرایند اصلی..........................................................................................52 5-2-1 کران های پایین موضعی....................................................................52 5-2-2 فرایند اصلی برای تولید کران بالا برای نقطهی اولیه.................................53 5-2-3 فرایند اصلی برای تولید کران پایین برای نقطهی اولیه................................55 5-2-4 تکنیک درون یابی هسته ای.................................................................57فصل 6: مطالعات متکی بر تجربه(بخش اول) 6-1 قراردادهای مالی آمریکایی........................................................................60 6-1-1 اختیار فروش...............................................................................61 6-1-2 اختیار خرید ماکزیمم......................................................................61 6-1-3 اختیار خرید بسته ای.......................................................................62 6-1-4 انتخاب مقادیر پارامتر.......................................................................62 6-2 نتایج عددی برای مقایسه روش های مونت کارلو............................................62 6-2-1 نتایج ..........................................................................................63 6-3 نتایج عددی برای محاسبه ی توابع پایه ای .....................................................66 6-3-1 تشریح توابع پایه ای.......................................................................66 6-3-2 روش تحلیل..................................................................................66فصل 7 : مطالعات متکی بر تجربه (بخش دوم) 7-1 شبیه سازی حرکت براونی..........................................................................69 7-2 حل عددی معادلهی دیفرانسیل تصادفی........................................................71 7-3 تقریب اویلر...........................................................................................72 7-4 تولید کران بالا و پایین برای اختیارخرید ماکزیمم برمودایی رویd دارایی..............73 7-4-1 نتایج............................................................................................77 7-5 تولید کران پایین برای اختیارفروش برمودایی بسته ای.......................................79 7-5-1 نتایج..............................................................................................81فصل 8 : نتیجه گیری ها 8-1 ارزش گذاری اختیارمعاملات آمریکایی و برمودایی به کمک شبیه سازی................83 8-2 پیشنهادها برای تحقیقات آتی......................................................................84مراجع...........................................................................................................85واژه نامه........................................................................................................88پیوست ها......................................................................................................93 فهرست شکل ها شکل 3-1 .....................................................................................................25شکل3-2.......................................................................................................27شکل3-3.......................................................................................................28شکل4-1.......................................................................................................33شکل4-2.......................................................................................................35شکل6-1.......................................................................................................64شکل7-1.......................................................................................................70شکل7-2.......................................................................................................73 فهرست جداول جدول 6-1.....................................................................................................64جدول 6-2.....................................................................................................65جدول 7-1.....................................................................................................76جدول 7-2.....................................................................................................77جدول 7-3.....................................................................................................80جدول 7-4.....................................................................................................81 فصل 1 : مقدمه دگرگونی اقتصاد جهانی طی دهه‌های اخیر و توسعهی اقتصادی، موجب ابداع یا تکامل ابزارهای متعدد مالی گردیده است. علاوه بر گسترش معاملات سنتی دارایی‌های فیزیکی و مالی، مبادلات ابزار مشتقه شامل قراردادهای آتی، قراردادهای اختیارمعامله و قراردادهای معاوضه‌ای، شتاب روزافزونی یافته است. به نحوی که ارزش جاری قراردادهای مشتقه منتشر شده در بازار که دارای موقعیت باز می‌باشند، در طی سال 2004 در حدود 50 تریلیون دلار برآورد شده است(که تحقق یافته است) [26]. هدف این پايان نامه ارزشگذاری اختیار معاملات می باشد. پس به تعریف و تاريخچهي این نوع مشتقات خواهیم پرداخت.1-1 تاريخچهارزشگذاري اختيارمعاملههاي آمريكايي[1] و برمودايي[2] در ابعاد بالا يكي از سخت ترين مسائل عددي در مهندسي مالي مي باشد. چندين رويكرد اخيراً براي ارزشگذاري چنين اختيارمعاملههايي با استفاده از تكنيك شبيه سازي مونت-كارلو پيشنهاد شده اند كه از جمله آانها مي توان به مقالات [28]، [24] ، [25] ، [5] ، [14] ، [1] ، [2] ، [8]، [16] ، [18] و [27] اشاره كرد. در برخي از اين مقاله ها شيوه هايي پيشنهاد شده اند كه به توليد كران بالا و پايين براي ارزش واقعي اختيار معاملهها مي پردازند. مثلا در [5]، روشي براي ارزشگذاري اختيار معاملههاي آمريكايي و برمودايي در دو حالت پيوسته و گسسته ارائه شده است كه در آن از اين واقعيت استفاده شده است كه هر اختيارمعاملهي آمريكايي معادل اختيارمعاملهي اروپايي[3] همراه با فرآيند مصرف است. اين روش به طور بازگشتي دنبالهاي از كرانهاي بالا و پايين براي هر نقطه را توليد مي كند كه كران هاي پايين به صورت صعودي و كران های بالا به صورت نزولي مرتب شده اند. متأسفانه ، پيچيدگي اين روش با هر تكرار جديد به طرز قابل ملاحظهاي افزايش مي يابد به طوريكه حتي رسيدن به دومين كران بالا، در ساختارهاي حقيقي، پیچیدگی محاسباتی بالایی دارد. لذا روشهايي كه باعث كاهش اين پيچيدگي شود، در اولويت قرار مي گيرند. در اين پايان نامه با استفاده از تكنيك درون يابي هسته اي تا حد زيادي مي توان اين پيچيدگي را كاهش داد .اختیار معامله ها یکی از انواع مشتقات مالی هستند که در بازارهای بورس دادوستد می شوند و می توانند به عنوان قرارداد روی هر دارایی بسته شوند، اما در این پایان نامه اختیارمعاملهی دارایی های بنیادین (سهام) مد نظر می باشد.1-2 اختيارمعاملاتاختيارمعامله ، يك قرارداد مالي است كه به دارندهي آن اين اختيار (و نه الزام) را مي دهد كه آن را به اجرا بگذارد. به طور كلي، مي توان اختيارمعامله را به دو دسته تقسيم كرد، "اختيار خريد[4]" و "اختيار فروش[5]" . يك اختيارخريد در واقع اين اختيار (و نه الزام) را به دارندهي آن مي دهد ، كه دارايي موضوع قرارداد را با قيمت معين و در تاريخ مشخص يا قبل از آن ، بخرد . به همين ترتيب ، يك اختيار فروش به دارندهي آن اين حق را مي دهد ، كه دارايي موضوع قرارداد را با يك قيمت معين و در تاريخ مشخص يا قبل از آن بفروشد [26] .قيمتي را كه در قرارداد ذكر مي شود ، قيمت توافقي[6] يا قيمت اعمال و تاريخ ذكر شده در قرارداد را ، اصطلاحاً تاريخ انقضا[7] يا زمان سررسيد اختيارمعامله مي گويند . اختيار خريد يا فروش ، هر كدام به دو حالت اروپايي و آمريكايي تقسيم مي شود . قرارداد "اختيار معامله ي اروپايي" فقط در تاريخ سررسيد قابليت اجرایی دارد، در حالي كه قرارداد "اختيارمعامله ي آمريكايي" در هر زمان قبل از تاريخ سررسيد يا در تاريخ سررسيد قابل اجرا است. به طور كلي براي تمام انواع اختيارمعامله ها ، به سود خالص دريافت شده از اجراي اختيارمعامله ، عايدي يا جبراني[8] اختيارمعامله ميگويند. سادهترين اختيارمعاملات، اختيارمعاملاتي است كه اختيار خريد يا فروش يك دارايي را به دارندهي خود مي دهد كه به ترتيب اختيار خريد و اختيار فروش ناميده مي شوند و به آنها اختيارمعامله هاي معمول[9] نيز اطلاق مي شود. اختيارمعاملات پيچيدهتر، اختيارمعاملات غيرمعمول نام دارند كه در همين فصل بهتعريف آن ها مي پردازيم. استفاده از اختيارمعاملات مي تواند داراي اهداف زير باشد:1- پوشش[10] ، وقتی كه از اختيارمعامله، براي كاهش ريسك در سبد سرمايهي داراييها استفاده می شود.2- گمانه زني[11] ، وقتی كه ممكن است سبدسرمایه سود بيشتري بدهد اما از ريسك بالاتري نیز برخوردار است .1-3 شبيه سازي مونتكارلو[12]روشهاي مونت كارلو، روشهايي است كه با استفاده از اعداد تصادفي به حل مسائل رياضي مي پردازد . مزيت اصلي اين روشها در مقايسه با روشهاي تعيني اين است كه نرخ همگرايي اين روشها با افزايش تعداد متغيرهاي حالت، به طور نمايي كاهش نمي يابد. در فصل 3 در مورد این روش ها بیشتر توضیح داده می شود. در اين پايان نامه از اين روش براي شبيه سازي سناريوهاي مربوط به حركت ارزش بورس در چهارچوب مدل بلك-شولز-مرتن[33] ، استفاده مي شود.[29]