چکیدهدر گرانش لاولاک تلاشهایی برای فهمیدن نقش جملات خمش مراتب بالا از دیدگاههای مختلف، به ویژه در زمینهی فیزیک سیاهچالهها، شده است. در این پایاننامه با در نظر گرفتن گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاسهای نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی، دو نوع جدید از جوابهای سیاهچالهای توپولوژیکی در ابعاد 1+6 بُعد و بالاتر را که شاملِ سیاهچالههای باردارِ استاتیک مجانباً تخت، و لایههای سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته میباشد معرفی میکنیم. تأثیرات میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی را بر جوابها بررسی میکنیم و خواهیم دید که به ازای مقادیر مناسب برای پارامترهای متریک، این جوابها میتوانند به عنوان سیاهچاله (لایه سیاه)هایی با دو اُفق رویداد، یک اُفق اکستریم و یا یک تکینگی عُریان تفسیر شوند. کمیتهای پایای ترمودینامیکی از قبیل دما، آنتروپی، جرم، بار الکتریکی و ... را برای جوابها محاسبه کرده و نشان میدهیم که قانون اول ترمودینامیک برای سیاهچالههای باردارِ استاتیک مجانباً تخت و لایههای سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته برقرار است. در ادامه تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای سیاهچالههای باردارِ استاتیک مجانباً تخت با محاسبه دترمینان ماتریس هسیان در دو آنسامبل کانونی و کانونی بزرگ انجام داده و نشان میدهیم که پایداری سیاهچالهها در گرانش لاولاک مرتبه سوم میتواند به نوع آنسامبل انتخابی بستگی داشته باشد، بدین معنی که جملات خمش مراتب بالا روی پایداری سیاهچالهها تأثیر میگذارد. در این بین نتایجی به دست میآید که نشان میدهد حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در رفتار آنسامبلهای متفاوت دارد. در پایان تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای لایههای سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته انجام داده و نشان میدهیم که حضور جملات خمش مراتب بالا و میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در پایداری لایههای سیاه در آنسامبلهای کانونی و کانونی بزرگ دارد. همچنین نشان میدهیم که لایههای سیاه فیزیکی (با دمای مثبت) دارای رفتار ترمودینامیکی پایداری هستند. کلمات کلیدی : گرانش اینشتین، گرانش لاولاک، خمش مراتب بالا، سیاهچالههای توپولوژیکی، ترمودینامیک سیاهچالهها، الکترودینامیک غیرخطی.فهرست عنوان صفحهفصل اول. 1مقدمه. 11-1 قراردادِ یکایی.. 11-2 معرفی مفاهیم ارجاعی: ذرات نقطهای، ریسمان‌ها و لایه‌ها31-3 انگیزه، هدف و ساختار تحقیق.. 10فصل دوم. 17گرانش در ابعاد بالا. 172-1 بُعد چهارم و نظریه نسبیت عام اینشتین.. 172-2 نظریه میدانهای کلاسیکی: فرمول‌بندی لاگرانژی میدانهای گرانشی.. 252-3 کُنشِ مرزی نظریه نسبیت عام. 272-4 ایزومتری و میدانهای برداری کیلینگ.. 282-5 جوابهای نظریه نسبیت عام. 292-5-1 فضازمانِ آنتی دوسیته در بُعد. 302-5-2 حل استاتیک باردار بُعدی معادلات میدان اینشتین در حضور ثابت کیهان‌شناسی 312-6 گرانش لاولاک: گسترش استاندارد نسبیت عام به ابعاد بالا. 322-7 کُنش مرزی در گرانش لاولاک مرتبه سوم. 362-8 روش کانترترم و رفع واگرایی در محاسبه کمیتهای پایا37فصل سوم. 42نظریهی الکترودینامیک غیرخطی.. 423-1 الکترودینامیک ماکسول. 433-1-1 جرم الکترومغناطیسی و مسئلهی واگرائی خودانرژی بارهای نقطهای.. 453-1-2 اصل برهمنهی خطی در نظریه ماکسول. 473-2 نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 483-2-1 معادلات میدان در نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 513-2-2 محاسبه‌ی شدت میدان مطلق ... 553-2-3 معادلاتِ موج در نظریههای الکترودینامیک غیرخطی.. 563-3 جمعبندی.. 58فصل چهارم. 60ترمودینامیک سیاهچالهها در گرانش لاولاک... 604-1 ترمودینامیک سیستمها در طبیعت.. 614-2 ترمودینامیک سیاهچالهها644-3 ترمودینامیک سیاهچالهها در گرانش خمش مراتب بالا. 684-4 کمیتهای ترمودینامیکی.. 704-4-1 بار الکتریکی.. 704-4-2 پتانسیل الکتریکی.. 714-4-2 سرعت زاویه‌ای.. 71فصل پنجم. 73ترمودینامیک جوابهای گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاسهای نمائی و لگاریتمی نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 735-1 کُنش و معادلات میدان گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی 745-2 جوابهای سیاهچالههای باردار استاتیک در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکلهای نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی.. 755-2-1 جوابهای باردار استاتیک 1+6 بُعدی.. 795-2-2 معرفی جرمِ هندسی در گرانش لاولاک مرتبه سوم. 825-2-3 خصوصیات فضازمانِ جوابهای باردار استاتیک 1+6 بُعدی.. 835-2-4 جوابهای سیاهچالههای باردار استاتیک بُعدی.. 915-3 بررسی ترمودینامیک سیاهچالههای لاولاک مرتبه سوم در حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی 945-4 طبیعتِ پایداری سیاهچالهها در آنسامبلهای کانونی و کانونی بزرگ.. 995-4-1 بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچالههای باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی.. 1005-4-2 بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچالههای باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی بزرگ 1055-5 لایههای سیاهِ چرخانِ باردار مجانباً در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکلهای نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی.. 1105-6 بررسی ترمودینامیک لایههای سیاه چرخانِ باردار مجانباً گرانشِ لاولاک مرتبه سوم در حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی.. 1145-7 طبیعتِ پایداری لایههای سیاه در آنسامبلهای کانونی و کانونی بزرگ.. 1205-7-1 بررسی پایداری ترمودینامیکی لایههای سیاه چرخانِ باردار مجانباً در آنسامبل کانونی 1205-7-2 بررسی پایداری ترمودینامیکی لایههای سیاه چرخانِ باردار مجانباً در آنسامبل کانونی بزرگ 123فصل ششم. 127نتیجهگیری و پیشنهادات.. 127پیوست الف.. 132پیوست ب.. 134پیوست ج.. 135مراجع.. 137 فهرست شکلها شکل 1-1: نظریه به عنوان نظریه مادر برای پنج نظریه اَبرریسمان 10 بُعدی و نظریه اَبرگرانش 11 بُعدی ............................................................................................................................................................................................................. 8شکل 2-1: شکل سمت چپ تقسیم فضای فیزیکی به صفحاتِ زمان ثابت در چارچوبِ 4 مختصهای فضا و زمان در نظریه نیوتن. یک نقطه در این چارچوب یک رویداد نامیده میشود و مسیر یک ذره در فضا و زمان توسط پیوستاری یک بُعدی از رویدادها، تحت عنوان جهانخط، مشخص میشود. شکل سمت راست لایه‌بندی فضازمان در نظریه نسبیت خاص را نشان میدهد ................................................................... .................................................................................19شکل 2-2: دستگاه مختصات یک نگاشت از خمینه به فضای اقلیدسی است ..................................................................22شکل 2-3: یک تبدیل مختصات بین دو مجموعه مختصات ...................................................................................23شکل 3-1: تغییرات بر حسب. شکل سمت چپ به ازای مقادیر و . شکل میانی به ازای مقادیر و ؛ دیده میشود که با افزایش سه مدل در فاصلهی مکانی خیلی کوچک برهم منطبق میشوند. شکل سمت راست رفتار در نزدیکی مبدأ به ازای مقادیر و را نشان میدهد ....................................55شکل 5-1: مقایسه رفتار تابعهای متریک (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمانهای مجانباً تخت . به ازای مقادیر ............................................................................................................86شکل 5-2: مقایسه رفتار تابعهای متریک (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمانهای مجانباً. به ازای مقادیر .................................................................................................86شکل 5-3: تغییرات تابع متریک نسبت به برای کلاسهای (شکل مشکی رنگ)و(شکل آبی رنگ) برایحالتهای متفاوت پارامترِ جرم. به ازای مجموعه مقادیر............................................................................................................................................................................................................88شکل 5-4: تغییرات تابع متریک نسبت به برای کلاسهای(شکل مشکی رنگ)و(شکل آبی رنگ)به ازای مقادیر،، و . در شکل خطوط باریک مربوط به حالت (سیاهچاله با یک اُفق)، خطوط پررنگ مربوط به حالت (سیاهچاله با دو اُفق)، خطوط نقطهای مربوط به حالت (سیاهچاله با اُفق اکستریم) و خطوط خط-نقطهای مربوط به حالت (تکینگی عریان) هستند...............................................................................................................................................................................................90شکل 5-5: برای کلاس- تغییرات دما بر حسب (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ........................................................................................................................102شکل 5-6: برای کلاس- تغییرات ظرفیت گرمایی بر حسب. شکل سمت چپ تغییرات در دامنههای کوچک را نشانمیدهد. شکل سمت راست تغییرات در مقادیر بزرگتر را نشان میدهد. به ازای مقادیر .............................................................................................................................................................................103شکل 5-7: برای کلاس- تغییرات دما بر حسب (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ......................................................................................................................104شکل 5-8: برای کلاس- تغییرات ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر ........................................................................................................................................................................................................104شکل 5-9: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................107شکل 5-10: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................108شکل 5-11: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................122شکل 5-12: : برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر ...........................................................................................................................122شکل 5-13: تغییرات دترمینان ماتریس هسیان در آنسامبل کانونی بزرگ . شکل سمت چپ مربوط به کلاس و شکل سمت راست برای کلاس. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................124 1-1 قراردادِ یکاییبرای کاربردهای بعدی، ابتدا مشخص میکنیم که در چه یکایی از یکاهای فیزیکی کار میکنیم. در این پایاننامه از واحدهای طبیعی[1] استفاده میکنیم به جز مواردی که خلاف آن ذکر شود. در واحدی که کار میکنیم ثانیه به طور دقیق برابر است با متر. بنابراین برای سرعت نور خواهیم داشت و برای گذردهی الکتریکی و تراویی مغناطیسی خلأ مقدار را اختیار میکنیم. در نتیجه ثابت کولن برابر به دست میآید. علاوه بر این برای ثابت پلانک و ثابت بولتزمن نیز مقدار واحد را انتخاب میکنیم:بنابراین در واحدهای طبیعی داریم:و برای سادگی انتخاب میکنیم:بنابراین با مختصر نویسی داریم . از آن‌جایی که کُنشِ، بنا به تعریف، انتگرالِ زمانی یک لاگرانژین (با واحدِ انرژی) است بنابراین تمام کُنش‌ها بدون بُعد خواهند بود یعنی . در نتیجه برای عنصرِ حجم خواهیم داشت:و برای داشتن یک کُنش بدون بُعد لازم است که چگالی لاگرانژی دارای یکایباشد. برای مثال با این تحلیل پارامتر غیرخطی در فصل سوم (نظریه الکترودینامیک غیرخطی) دارای یکای جرم خواهد بود.ثابتِ گرانشِ اینشتین[2] ، که در معادلاتِ میدانِ اینشتین[3] ظاهر میشود، برحسبِ ثابتِ گرانش نیوتن[4] در چهار بُعد فضازمانی به صورتاست و آن را نیز، در هر بُعدی از فضازمان، برابر با واحد انتخاب میکنیم. ثابت گرانش نیوتن در ابعاد بالا به صورتِ زیر در میآیدو بنابراین ثابتِ گرانشِ اینشتین در هر بُعد برحسب ثابتِ گرانشِ نیوتن در همان بُعد نوشته میشود که مقدار آن، همان‌طور که ذکر شد، برابر واحد اختیار میشود. 1-2 معرفی مفاهیم ارجاعی: ذرات نقطهای، ریسمان‌ها و لایه‌ها[5]بنیادی‌ترین ذرات در طبیعت به صورت ذراتِ نقطهای[6] فرض میشوند زیرا بدون ساختارند و نمی‌توان برای آن‌ها بُعدی در نظر گرفت. یک نقطه در فضایبُعدی، بدون بُعد است. می‌توان ذره‌ی نقطهای را درون یک فضازمان بُعدی (که بُعد اضافی زمان است) توصیف کرد. با وجودِ مفهوم زمان، حرکت برای ذره‌ی نقطهای معنی پیدا می‌کند. حرکت ذره در فضازمان بُعدی یک خط 1+0 بُعدی است، یعنی بدون بُعد مکانی. به این موجود 1 بُعدی جهانخط[7] می‌گوییم. با گسترش نظری ایده‌ی ذره به ریسمان[8]، به‌عنوان مولدهای احتمالی ذرات بنیادی و رد ایده‌ی نقطهای بودن آن‌ها، می‌توان برای ریسمان‌ها در فضازمان بُعدی یک جهان‌سطح 1+1 بُعدی در نظر گرفت. بنابراین فضازمانی که یک ریسمان تجربه می‌کند یک جهان‌صفحه[9] است. بر اساس نظریه ریسمان[10] اجزای تشکیل دهنده‌ی ماده، نه ذرات، بلکه ریسمان‌ها هستند. مطابق با این دیدگاه یک الکترون در حقیقت ریسمانی‌ست دارای ارتعاش و چرخش، اما در مقیاسی بسیار کوچک، بنابراین در مقیاس انرژی شتاب‌دهنده‌های امروزی به صورت ذره احساس میشوند. این نظریه برای تکامل به لایه‌ها[11] احتیاج دارد[12]. لایه‌ها گسترش ایده‌ی ریسمان‌ها هستند و برخلاف ریسمان‌ها اشیائی چند-بُعدی هستند. لایه شئ‌ای شبیه ریسمان اما با ابعاد دلخواه است. ریسمان را می‌توان یک لایه در نظر گرفت. ذره‌ی نقطهای لایه است. یک پوسته که در هر لحظه از زمان به شکل یک رویه باشد یک لایه است و به همین ترتیب لایه، لایه، لایه (دو نوع)، لایه الی لایه را داریم. این لایه‌ها میتوانند کل فضای حجمی یک فضازمان را پر کنند. نوع خاصی از لایه‌ها تحت عنوان لایه‌ها وجود دارند که میتوانند در فضازمانهای با ابعاد بالا غوطه‌ور باشند و نقش شرایط مرزی دیریکله[13] را در نظریه اَبرریسمان بازی کنند[14]. لایه‌ها ذرات نقطهای هستند. لایه‌ها مشابه ریسمان‌ها و اشیائی یک بُعدی هستند. دو انتهای آن‌ها میتواند بر روی هم قرار گرفته و تشکیل یک حلقه دهند و همانند ریسمان‌ها میتوانند در تمامی جهات حرکت کنند. به همین دلیل میتوانند ارتعاش داشته باشند و دارای نوسانات کوانتومی هستند. لایه شئ گسترده شده در بُعد فضایی است و بنابراین در ادامه‌ی امتداد ایده‌ی جهانخط و جهان‌صفحه می‌توان برای آن‌ها جهان‌حجم‌هایی[15] بُعدی در نظر گرفت. این‌ها تعمیم ذره‌ی نقطهای بدون ساختار داخلی به ابعاد بالا هستند. ویژگی بارز آن‌ها این است که مکان‌هایی در فضا هستند که انتهای ریسمان‌ها بر روی آن‌ها قرار می‌گیرد.لایه‌ها دارای جرم مشخصی هستند و با استفاده از این واقعیت که انتهای ریسمان‌ها میتواند بر روی آن‌ها قرار گیرد می‌توان جرم‌شان را حساب کرد. با ضعیف‌تر شدن اندرکُنش ریسمان‌ها جرم لایه افزایش می‌یابد. در مطالعه‌ی جهان‌صفحه‌ی ریسمان‌ها از فرض ضعیف بودن اندرکنش ریسمان‌ها استفاده میشود. در نتیجه لایه‌ها اجسام بسیار سنگینی هستند به گونه‌ای که حرکت دادن آن‌ها بسیار دشوار بوده و از این لحاظ به سختی می‌توان آن‌ها را اشیائی پویا در نظریه ریسمان محسوب کرد. دلیل اصلی شکل‌گیری انقلابِ مربوط به ورود لایه‌ها به حوزه‌ی فیزیک نظری، اَبرگرانش 11-بُعدی است. این نظریه بر پایه‌ی دو ایده شکل گرفت: اَبَرتقارن[16] و نسبیت عام[17]. این نظریه با نظریههای اَبرگرانشی مستخرج از نظریهی ریسمان نیز مرتبط است و نظریه‌پردازان از این ارتباط، قبل از انقلاب دوم ریسمان[18] به خوبی آگاه بودند. اما ارتباط آن با جهان‌صفحه نظریه ریسمان ناشناخته بود. بدتر از همه این‌که این نظریه هیچ همگونی با مکانیک کوانتومی نداشت. به همین دلیل نظریه‌پردازان ریسمان با تردید به آن نگاه می‌کردند، زیرا بر این باور بودند که مکانیک کوانتومی و گرانش کاملاً به یک‌دیگر وابسته هستند. با گسترش یافتن این ایده‌ها بین نظریه‌پردازان طی چند سال، مسیر این نظریه در اواسط دهه‌ی 90 به ناگاه عوض شد. با این‌که هنوز هم ریسمان‌ها اشیائی مهم به شمار می‌رفتند اما وجود لایه‌ها با ابعاد مختلف در این نظریه ضروری به نظر می‌رسید و گاه در بعضی موارد حتی دارای اهمیتی به اندازه خود ریسمان‌ها بودند. در مواردی هم لایه‌ها به عنوان سیاهچالههای دمای صفر[19] توصیف می‌شدند.فرض اولیه در نظریه ریسمان این است که ذرات اشیائی نقطه‌گونه نیستند بلکه مدهای نوسانی از ریسمان‌ها هستند. ریسمان‌ها بی‌نهایت باریک هستند و بر اساس فرضیات نظریه ریسمان دارای طولی بسیار کوچک در حدود هستند[1,4]. جرم کل ریسمان به سه بخش تقسیم میشود:1) جرم سکون ریسمان که بین دو لایه قرار گرفته است. Brane[12]در اواسط دهه 1990، پولچنسکی کشف کرد که نظریه ریسمان به اشیائی با ابعاد بالا تحت عنوان لایههای چندبعدی نیاز دارد [5]. این اشیا سازه‌های ریاضی پرقدرتی را وارد نظریه می‌کنند، و راه را برای ورود مدل‌های کیهان‌شناسی مبتنی بر واقعیت باز می‌کنند مانند تلاش‌های صورت گرفته در کیهان‌شناسی جهان‌لایه‌ای. تحلیل‌های انجام گرفته بر روی لایههای چند بعدی منجر به تولد تناظر شد که فهمی میکروسکوپیکی از خواص ترمودینامیکی سیاهچالهها را به ما میدهد.[14] در واقع حرفِ در لایه‌ها مختصر شده‌ی شرط مرزی دیریکله است. در حضور یک لایه، انتهای ریسمان‌های باز باید رویلایه موردنظر قرار گرفته باشند. در واقع چنین شرطی، که برای سازگاری ریاضیاتی درونی نظریه اَبرریسمان به وجود آمده، معادل با شرایط مرزی دیریکله برای انتهای اَبرریسمان‌هاست.[18]انقلاب دوم در نظریه اَبرریسمان با گسترش این ایده که ریسمان‌ها نمی‌توانند تنها شرکت‌کنندگان موجود در این نظریه باشند شکل گرفت. یک دلیل این بود که با افزایش اندرکُنش‌های بین ریسمان‌ها، هم‌چون شکاف و ترکیب ریسمان‌ها، کنترل این فرایندها سخت‌تر و سخت‌تر می‌شد. به همین دلیل پیشنهادی مبنی بر اضافه کردن اشیای جدیدی به این نظریه به منظور کنترل فرایندهای شکاف و ترکیب به هنگام اندرکُنش‌های قوی صورت گرفت. دلیل دیگر به نظریات مطرح شده درباره‌ی اَبَرگرانش مربوط میشود.اولین انقلاب اَبرریسمان نیز مربوط به سال‌های 1984-1986 میشود. در این دوره مشخص شد که نظریه قادر است تمام ذرات بنیادی و برهم‌کُنش‌های بین آن‌ها را توضیح دهد.