چکیدهضریب تغییرات کمیتی بسیار مهم وپرکاربرد در علومی مانند فیزیک، زیست شناسی، پزشکی و ... می باشد .یکی از دلایل اهمیت ضریب تغییرات، وابسته نبودن آن به مقیاس اندازه گیری است که می توان از آن جهت مقایسه پراکندگی چند جامعه با واحد های اندازه گیری مختلف، استفاده نمود. از ضریب تغییرات به عنوان شاخصی برای سازگاری یا یکنواختی مجموعه ای از مشاهدات نیز استفاده می شود.ما در این پایان نامه دو روش جدید بر پایه بوت استراپ پارامتریجهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه می دهیم. از آن جهت که در هر مساله آزمون فرض آماری، ارائه روشی که بتواند خطای نوع اول را به خوبی کنترل کند اهمیت دارد نخست با استفاده از شبیه سازی عملکرد روش پیشنهادی از لحاظ کنترل خطای نوع اول بررسی می شود. سپسبه مقایسه توان آزمون پیشنهادی با روش هایی که اخیرا ارائه شده اند؛ می پردازیم.کلید واژه : ضرایب تغییرات، آزمون والد، روش بوت استراپ پارامتری،نسبت درستنمایی، p- مقدار تعمیم یافتهفهرست مطالبعنوان صفحهفصل اول: مقدمه 1-1- مقدمه و تاریخچه. 21-2- آشنایی با نماد ها41-3- P- مقدار تعمیم یافته 51-4-روش بوت استراپ پارامتری.. 61-5-معرفی آماره آزمون والد. 6فصل دوم: معرفی روش های موجود برای آزمودن. 2-2- روش لیو و همکاران. 82-3- روش جعفری و کاظمی.. 92-4- روش بهینه شده جعفری و کاظمی.. 15فصل سوم: روش جدید پیشنهادی.. 3-1- روش جدید پیشنهادی.. 203-2-روش کریشنامورتی و میسوک لی.. 223-3-تفاوت های روش جدید پیشنهادی با دو روش اخیر. 23فصل چهارم: شبیه سازی، مثال عددی و بحث و نتیجهگیری.. 4-1- شبیه سازی.. 294-2- مثال عددی.. 404-3- نتیجهگیری.. 41پیوست.. پیوست 1: برنامهنویسی.. 43منابع و مراجع. 51چکیده انگلیسی. 53فهرست جدول هاعنوان و شماره صفحهجدول 1:برآورد خطای نوع اول برایجامعه نرمال مستقل برای روش هایJKL، MJKL........................................................................................................................................ 31 جدول 2: برآورد توان برایجامعه نرمال مستقل برای روش های JKL،MJKL.........................................................................................................................................................32 جدول 3: برآورد خطای نوع اول برایجامعه نرمال مستقل برای روش هایGPT، JKL، JKW، WT ، Newو MLRT...............................................................................33 جدول 4: برآورد خطای نوع اول برایجامعه نرمال مستقلبرای روش هایGPT، JKL، JKW، WT، New و MLRT...............................................................................34 جدول 5: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل برای روش های New وMLRT.......................................................................................................................................................35 جدول 6: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل برای روش های New وMLRT........................................................................................................................................................36 جدول 7: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل با حجم نمونه برابر برایروش های New و MLRT...................................................................................................................37 جدول 8: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل براساس جدول کریشنامورتیو میسوک لی (2014)................................................................................................................................39 جدول 9:اطلاعات مربوط به تعداد صید 4 نوع ماهی در درایالت کارناتاکا هند ..........................40 جدول 10:نتایج آزمون ها .......................................................................................................................40 فهرست اشکالعنوان و شماره صفحهشکل 1:تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013).............................................................. 24شکل 2:تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013) بعد از ضرب نمون ضریب ...................24شکل 3: چگالی خی دو با دو درجه آزادی............................................................................................24فهرست نشانه های اختصاریفصل اول: مقدمه 1- مقدمه1-1- مقدمه و تاریخچه بدلیل اینکه ضریب تغییرات به واحد اندازه گیری بستگی ندارد، معیاری مناسب جهت مقایسه پراکندگی چند جامعه با واحد های اندازه گیری مختلف می باشد و به همین دلیل نیز ضریب تغییرات مورد توجه آمار دانان قرا گرفته است. هدف ما در این پایان نامه ارائه آزمونی برای آزمودن برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال براساس آزمون والد[1] و روش بوت استراپ پارامتری[2] می باشد. تاکنون روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند؛ اما هیچ یک از روش های ارائه شده دقیق نیستند به این معنی که خطای نوع اول آنها دقیقا در سطح اسمی آزمون نمی باشد. ازمهمترین روش ها می توان به این موارد اشاره کرد. بنت[3] در سال 1976 آزمونی براساس روش نسبت درستنمایی ارائه کرد. همچنین گوپتا وما[4]در سال 1996، رائو و جوز[5] در سال 2001 و نیری و رائو[6] درسال 2003 آزمون والد را برای این مساله به کار گرفتند. تسو[7] در سال 2009 از آزمون تقریبی نمره[8] جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات استفاده کرد. اخیرا نیز، لیو و همکاران[9] (2010)، جعفری و کاظمی ( 2013) و کریشنامورتی و میسوک لی[10] (2014) به ترتیب روش هایی بر اساس p- مقدار تعمیم یافته،بوت استراپ پارامتری و آزمون نسبت درستنمایی ارائه نمودند و خطای نوع اول و توان آزمون خود را با استفاده از شبیه سازی با روش های موجود مقایسه کردند. ما نیز در این پایان نامه، ابتدا با بهینه سازی روش جعفری و کاظمی (2013) روشی جدید بر پایه والد و بوت استراپ پارامتری جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه می دهیم و سپس با بهینه سازی آزمون والد روش جدید دیگری که عملکرد نسبتا بهتری نسبت به سایر روش ها دارد معرفی می کنیم. اما آماره آزمون ما متفاوت از جعفری و کاظمی (2013) می باشد. از آن جهت که در هر مساله آزمون فرض آماری، ارائه روشی که بتواند خطای نوع اول را به نحو مطلوبی کنترل کند اهمیت دارد نخست با استفاده از شبیه سازی، خطای نوع اول روش جدید پیشنهادی را با روش های نیری و رائو (2003)، لیو و همکاران (2010)، کاظمی و جعفری ( 2013 ) و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) مقایسه می کنیم. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که بر اساس خطای نوع اول، روش جدید پیشنهادی و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) عملکرد بهتری نسبت به دیگر روش ها دارند. لذا فقط توان آزمون روش جدید پیشنهادی، با روش ارائه شده توسط کریشنامورتی و میسوک لی (2014) مقایسه می گردد. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که در برخی موارد، توان آزمون روش جدید پیشنهادی بهتر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) می باشد. در مواردی نیز عکس این موضوع اتفاق می افتد و در برخی موارد دیگر، عملکرد این دو روش از دیدگاه توان مانند هم است. همچنین لازم به ذکر است که روش جدید پیشنهادی از لحاظ محاسباتی ساده تر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) است. ساختار پایان نامه به صورت زیر می باشد. در فصل 2، روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال تاکنون ارائه شده است از جمله روش های لیو و همکاران (2010)، جعفری و کاظمی (2013)، روش جدید بهینه شده جعفری و کاظمی (2013)، کریشنامورتی و میسوک لی (2014) و آزمون والد نیری و رائو (2003) را به طور مختصر معرفی می کنیم. در فصل 3 آزمون جدیدی که براساس روش والد و استفاده از روش بوت استراپ پارامتری می باشد پیشنهاد و شرح می دهیم. در فصل 4، با استفاده از شبیه سازی به مقایسه آزمون جدید پیشنهادی با روش های دیگر از دیدگاه کنترل خطای نوع اول و توان آزمون می پردازیم. در همین فصل با ارائه یک مثال به توصیف روش های ارائه شده می پردازیم و با نتیجه گیری مبحث را به پایان خواهیم برد.در این قسمت، نخست به معرفی نماد ها و مفاهیم اولیه مورد نیاز می پردازیم. سپس روش هایی را که اخیرا جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند معرفی می کنیم. 1-2- آشنایی با نماد ها فرض کنید برای نشان دهنده – امین نمونه از - امین جامعه نرمال با میانگین و واریانس باشد. میانگین و واریانس جامعه - ام به صورت زیر برآورد می شوند:.وهمچنینو را به عنوان مقادیر مشاهده شده از و در نظر می گیریم. ضریب تغییرات جامعه - ام را با نشان می دهیم. هدف ما انجام آزمون برای فرضیه های زیر است :واضح است که فرضیه های فوق معادل بااست که در آن می باشد.اگر ماتریس مقابله ها با اندازه و برداری باشد به طوری کهوآنگاه فرضیه مورد علاقه را می توان به صورت زیر نوشت:در ادامه روش هایی را که اخیرا جهت آزمون فرض معرفی شده اند بیان می کنیم. 1-3- p- مقدار تعمیم یافته فرض کنید یک متغیر تصادفی از توزیعی با پارامترهای باشد به گونهای که پارامتر مورد علاقه و پارامتر مزاحم میباشد. (پارامتر مزاحم پارامتری است که در توزیع متغیر وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نیست.)فرض کنید علاقهمند به آزمون در مقابل هستیم به گونهای که مقداری مشخص و معلوم میباشد. همچنین فرض کنید نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغیر باشد. آماره تعمیم یافته که یک کمیت تصادفی است و به مقدار مشاهده شده و پارامترها بستگی دارد را به همراه شرایط زیر در نظر بگیرید:1) توزیع آماره به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.2) مقدار مشاهده شده یعنی به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.3) به ازای و ثابت، نسبت به غیر نزولی باشد. (3-2-1)براساس شرایط فوق p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف میشود:به گونهای که است.
استنباط آماری پیرامون ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال بر اساس روش Parametric bootstrap
چکیدهضریب تغییرات کمیتی بسیار مهم وپرکاربرد در علومی مانند فیزیک، زیست شناسی، پزشکی و ... می باشد .یکی از دلایل اهمیت ضریب تغییرات، وابسته نبودن آن به مقیاس اندازه گیری است که می توان از آن جهت مقایسه پراکندگی چند جامعه با واحد های اندازه گیری مختلف، استفاده نمود. از ضریب تغییرات به عنوان شاخصی برای سازگاری یا یکنواختی مجموعه ای از مشاهدات نیز استفاده می شود.ما در این پایان نامه دو روش جدید بر پایه بوت استراپ پارامتریجهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه می دهیم. از آن جهت که در هر مساله آزمون فرض آماری، ارائه روشی که بتواند خطای نوع اول را به خوبی کنترل کند اهمیت دارد نخست با استفاده از شبیه سازی عملکرد روش پیشنهادی از لحاظ کنترل خطای نوع اول بررسی می شود. سپسبه مقایسه توان آزمون پیشنهادی با روش هایی که اخیرا ارائه شده اند؛ می پردازیم.کلید واژه : ضرایب تغییرات، آزمون والد، روش بوت استراپ پارامتری،نسبت درستنمایی، p- مقدار تعمیم یافتهفهرست مطالبعنوان صفحهفصل اول: مقدمه 1-1- مقدمه و تاریخچه. 21-2- آشنایی با نماد ها41-3- P- مقدار تعمیم یافته 51-4-روش بوت استراپ پارامتری.. 61-5-معرفی آماره آزمون والد. 6فصل دوم: معرفی روش های موجود برای آزمودن. 2-2- روش لیو و همکاران. 82-3- روش جعفری و کاظمی.. 92-4- روش بهینه شده جعفری و کاظمی.. 15فصل سوم: روش جدید پیشنهادی.. 3-1- روش جدید پیشنهادی.. 203-2-روش کریشنامورتی و میسوک لی.. 223-3-تفاوت های روش جدید پیشنهادی با دو روش اخیر. 23فصل چهارم: شبیه سازی، مثال عددی و بحث و نتیجهگیری.. 4-1- شبیه سازی.. 294-2- مثال عددی.. 404-3- نتیجهگیری.. 41پیوست.. پیوست 1: برنامهنویسی.. 43منابع و مراجع. 51چکیده انگلیسی. 53فهرست جدول هاعنوان و شماره صفحهجدول 1:برآورد خطای نوع اول برایجامعه نرمال مستقل برای روش هایJKL، MJKL........................................................................................................................................ 31 جدول 2: برآورد توان برایجامعه نرمال مستقل برای روش های JKL،MJKL.........................................................................................................................................................32 جدول 3: برآورد خطای نوع اول برایجامعه نرمال مستقل برای روش هایGPT، JKL، JKW، WT ، Newو MLRT...............................................................................33 جدول 4: برآورد خطای نوع اول برایجامعه نرمال مستقلبرای روش هایGPT، JKL، JKW، WT، New و MLRT...............................................................................34 جدول 5: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل برای روش های New وMLRT.......................................................................................................................................................35 جدول 6: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل برای روش های New وMLRT........................................................................................................................................................36 جدول 7: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل با حجم نمونه برابر برایروش های New و MLRT...................................................................................................................37 جدول 8: برآورد توان برای جامعه نرمال مستقل براساس جدول کریشنامورتیو میسوک لی (2014)................................................................................................................................39 جدول 9:اطلاعات مربوط به تعداد صید 4 نوع ماهی در درایالت کارناتاکا هند ..........................40 جدول 10:نتایج آزمون ها .......................................................................................................................40 فهرست اشکالعنوان و شماره صفحهشکل 1:تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013).............................................................. 24شکل 2:تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013) بعد از ضرب نمون ضریب ...................24شکل 3: چگالی خی دو با دو درجه آزادی............................................................................................24فهرست نشانه های اختصاریفصل اول: مقدمه 1- مقدمه1-1- مقدمه و تاریخچه بدلیل اینکه ضریب تغییرات به واحد اندازه گیری بستگی ندارد، معیاری مناسب جهت مقایسه پراکندگی چند جامعه با واحد های اندازه گیری مختلف می باشد و به همین دلیل نیز ضریب تغییرات مورد توجه آمار دانان قرا گرفته است. هدف ما در این پایان نامه ارائه آزمونی برای آزمودن برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال براساس آزمون والد[1] و روش بوت استراپ پارامتری[2] می باشد. تاکنون روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند؛ اما هیچ یک از روش های ارائه شده دقیق نیستند به این معنی که خطای نوع اول آنها دقیقا در سطح اسمی آزمون نمی باشد. ازمهمترین روش ها می توان به این موارد اشاره کرد. بنت[3] در سال 1976 آزمونی براساس روش نسبت درستنمایی ارائه کرد. همچنین گوپتا وما[4]در سال 1996، رائو و جوز[5] در سال 2001 و نیری و رائو[6] درسال 2003 آزمون والد را برای این مساله به کار گرفتند. تسو[7] در سال 2009 از آزمون تقریبی نمره[8] جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات استفاده کرد. اخیرا نیز، لیو و همکاران[9] (2010)، جعفری و کاظمی ( 2013) و کریشنامورتی و میسوک لی[10] (2014) به ترتیب روش هایی بر اساس p- مقدار تعمیم یافته،بوت استراپ پارامتری و آزمون نسبت درستنمایی ارائه نمودند و خطای نوع اول و توان آزمون خود را با استفاده از شبیه سازی با روش های موجود مقایسه کردند. ما نیز در این پایان نامه، ابتدا با بهینه سازی روش جعفری و کاظمی (2013) روشی جدید بر پایه والد و بوت استراپ پارامتری جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه می دهیم و سپس با بهینه سازی آزمون والد روش جدید دیگری که عملکرد نسبتا بهتری نسبت به سایر روش ها دارد معرفی می کنیم. اما آماره آزمون ما متفاوت از جعفری و کاظمی (2013) می باشد. از آن جهت که در هر مساله آزمون فرض آماری، ارائه روشی که بتواند خطای نوع اول را به نحو مطلوبی کنترل کند اهمیت دارد نخست با استفاده از شبیه سازی، خطای نوع اول روش جدید پیشنهادی را با روش های نیری و رائو (2003)، لیو و همکاران (2010)، کاظمی و جعفری ( 2013 ) و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) مقایسه می کنیم. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که بر اساس خطای نوع اول، روش جدید پیشنهادی و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) عملکرد بهتری نسبت به دیگر روش ها دارند. لذا فقط توان آزمون روش جدید پیشنهادی، با روش ارائه شده توسط کریشنامورتی و میسوک لی (2014) مقایسه می گردد. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که در برخی موارد، توان آزمون روش جدید پیشنهادی بهتر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) می باشد. در مواردی نیز عکس این موضوع اتفاق می افتد و در برخی موارد دیگر، عملکرد این دو روش از دیدگاه توان مانند هم است. همچنین لازم به ذکر است که روش جدید پیشنهادی از لحاظ محاسباتی ساده تر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) است. ساختار پایان نامه به صورت زیر می باشد. در فصل 2، روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال تاکنون ارائه شده است از جمله روش های لیو و همکاران (2010)، جعفری و کاظمی (2013)، روش جدید بهینه شده جعفری و کاظمی (2013)، کریشنامورتی و میسوک لی (2014) و آزمون والد نیری و رائو (2003) را به طور مختصر معرفی می کنیم. در فصل 3 آزمون جدیدی که براساس روش والد و استفاده از روش بوت استراپ پارامتری می باشد پیشنهاد و شرح می دهیم. در فصل 4، با استفاده از شبیه سازی به مقایسه آزمون جدید پیشنهادی با روش های دیگر از دیدگاه کنترل خطای نوع اول و توان آزمون می پردازیم. در همین فصل با ارائه یک مثال به توصیف روش های ارائه شده می پردازیم و با نتیجه گیری مبحث را به پایان خواهیم برد.در این قسمت، نخست به معرفی نماد ها و مفاهیم اولیه مورد نیاز می پردازیم. سپس روش هایی را که اخیرا جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند معرفی می کنیم. 1-2- آشنایی با نماد ها فرض کنید برای نشان دهنده – امین نمونه از - امین جامعه نرمال با میانگین و واریانس باشد. میانگین و واریانس جامعه - ام به صورت زیر برآورد می شوند:.وهمچنینو را به عنوان مقادیر مشاهده شده از و در نظر می گیریم. ضریب تغییرات جامعه - ام را با نشان می دهیم. هدف ما انجام آزمون برای فرضیه های زیر است :واضح است که فرضیه های فوق معادل بااست که در آن می باشد.اگر ماتریس مقابله ها با اندازه و برداری باشد به طوری کهوآنگاه فرضیه مورد علاقه را می توان به صورت زیر نوشت:در ادامه روش هایی را که اخیرا جهت آزمون فرض معرفی شده اند بیان می کنیم. 1-3- p- مقدار تعمیم یافته فرض کنید یک متغیر تصادفی از توزیعی با پارامترهای باشد به گونهای که پارامتر مورد علاقه و پارامتر مزاحم میباشد. (پارامتر مزاحم پارامتری است که در توزیع متغیر وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نیست.)فرض کنید علاقهمند به آزمون در مقابل هستیم به گونهای که مقداری مشخص و معلوم میباشد. همچنین فرض کنید نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغیر باشد. آماره تعمیم یافته که یک کمیت تصادفی است و به مقدار مشاهده شده و پارامترها بستگی دارد را به همراه شرایط زیر در نظر بگیرید:1) توزیع آماره به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.2) مقدار مشاهده شده یعنی به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.3) به ازای و ثابت، نسبت به غیر نزولی باشد. (3-2-1)براساس شرایط فوق p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف میشود:به گونهای که است.