چکیدههمانطور که می دانیم در یک مدل آنالیز واریانس برآوردهای درستنمایی ماکزیمم، آزمون های آماری زمانی معتبر هستند که توزیع خطای تصادفی نرمال باشد و در عمل اگر متغیر پاسخ دارای توزیع نرمال نباشد ، نتایج به دست آمده از کارایی کمتری برخوردار هستند. در این پايان نامه طرح عاملی k2 با خطای تصادفی وایبل و همچنين مدل هاي تحليل كواريانس را زماني كه متغير مستقل و خطاي تصادفي هر دو داراي توزيع غير نرمال باشند بررسی می كنيم، برای این منظور از برآوردهای ماکزیمم درستنمایی اصلاح شده استفاده می کنیم )Modified Maximum Likelihood(. سپس آزمون های معنادار بودن را با استفاده از برآوردهای MML انجام می دهیم. در پایان نتایج بدست آمده را با استفاده از شبیه سازی آماره ها ارزیابی می کنیم .کليد واژه ها : آنالیز کواریانس- قابلیت اعتماد- طرح عاملی- تابع درستنمایی-برآوردگر درست نمایی ماکزیمماصلاح شده- غیر نرمالفهرست مطالبعنوان صفحهفصل اول : مقدمه............ 21-1- مقدمه....... 21-2- طرح هاي عاملي........... 21-2-1- طرح عاملي 22................. 31-2-2- مقابله ها........ 41-2-3- طرح عاملی k2.......... 51-3- تحليل كواريانس............................................................................. 61-4- توزيع وايبل و خواص آن.................................................................... 71-4-1- قابليت اعتماد (Reliability )......................................................... 91-5- توزيع لجستيك تعميم يافته................................................................ 91-6- روش درستنمايي ماكزيمم................................................................. 14فصل دوم : روش درستنمايي ماكزيمم اصلاح شده.............................................. 172-1- مقدمه........................................................................................ 172-2- معرفی روش درستنمایی ماکزیمم اصلاح شده........................................... 172-3- معادلات درستنمايي........................................................................ 182-4- معادلات درستنمايي اصلاح شده و برآورديابهای MML............................... 222-5- آزمون فرض................................................................................. 23فصل سوم : طرح عامليk2 با خطاي تصادفي وايبل............................................. 253-1- مقدمه........................................................................................ 253-2- معادلات درستنمايي........................................................................ 253-3- خطی کردن معادلات درستنمایی با استفاده از بسط سری تیلور....................... 283-4- معادلات درستنمايي اصلاح شده و برآورديابهای MML............................... 313-5- آزمون فرض................................................................................. 353-6- برآوردياب های MML در طرح عاملی 23............................................... 383-7-تعمیم......................................................................................... 43فصل چهارم : تحليل كواريانس با خطاي تصادفي لجستيك تعميم يافته...................... 464-1- مقدمه........................................................................................ 464-2- معادلات درستنمايي........................................................................ 464-3- خطی کردن معادلات درستنمایی با استفاده از بسط سری تیلور....................... 514-4- برآورديابهای MML.................................................................... 534-5- آزمون فرض................................................................................. 554-5-1- آزمون تئوری نرمال...................................................................... 55فصل پنجم : مثال های عددی.................................................................... 555-1- مقدمه........................................................................................ 675-2- شبیه سازی فصل سوم..................................................................... 675-3- شبیه سازی فصل چهارم................................................................... 705-5- مثال عددی 2............................................................................... 726-5 محاسبه احتمال خطای نوع اول و توان در آزمون F معمولی........................... 73پیوست 1........................................................................................... 76واژه نامه فارسی به انگلیسی....................................................................... 82واژه نامه انگلیسی به فارسی....................................................................... 90منابع :............................................................................................... 97فهرست جداولعنوان صفحهجدول یک - روش هر بار يک عامل................................................................ 3جدول دو - ضرایب مقابله ها در طرح عاملي22.................................................. 5جدول سه - احتمال های متناظر با آماره ها برای مقادیر مختلف p........................... 69جدول چهار - توان آزمون ها برای مقادير مختلف b1 و b2 در توزيع لجستيک تعميم يافته70جدول پنج – مشاهدات مثال عددی یک........................................................ 71جدول شش – مشاهدات مثال عددی دو(سرعت برش ( دور در دقیقه ))..................... 72فهرست شکلهاعنوان صفحهشکل 1 – تابع چگالی وایبل........................................................................ 8شکل 2 – تابع چگالی لجستیک چوله (SL)................................................... 11شکل 3– تابع چگالی PRHL.................................................................. 14مقدمهدر مدل های آنالیز واریانس ، آزمون های معنادار بودن بر اساس فرض خطای نرمال انجام می شوند . در عمل ممکن است با رسم نمودار باقی مانده ها متوجه شویم که فرض خطای نرمال نادرست می باشد ، در این صورت به کار بردن روش های سنتی سبب کاهش کارایی در آزمون و برآوردیابی می شود .در این پايان نامه طرح عاملی k2با خطای تصادفی وایبل و همچنين مدل هاي تحليل كواريانس را زماني كه متغير مستقل و خطاي تصادفي هر دو داراي توزيع غير نرمال باشند بررسی می كنيم ، برای این منظور از برآوردهای ماکزیمم درستنمایی اصلاح شده )MML( استفاده می کنیم که در مقایسه با راه حل های ارائه شده تحت فرض نرمال بودن خطا توان بالاتری دارند و نسبت به فرضیات مدل نیرومند ( Robust ) هستند . این پایان نامه در 5 فصل ارائه می شود که موضوع هر کدام در زیر آورده شده است .فصل اول : تعاريف و مفاهيم مقدماتيدر اين فصل مفاهيم مورد نياز در پايان نامه بيان مي شود .مفاهيمي از قبيل: طرح هاي عاملي ، تحليل كواريانس ، توزيع وايبل و خواص آن ، توزيع لجستيك تعميم يافته ، مقابله ها و روش درستنمايي ماكزيمم و ...فصل دوم : روش درستنمايي ماكزيمم اصلاح شده زماني كه خطاي تصادفي در يك مدل آماري غير نرمال باشد ( براي مثال داراي توزيع لجستيك يا وايبل باشد ) برای یافتن برآوردهای درستنمایی ماکزیمم با معادلاتی روبرو هستیم که حل آن ها بدون استفاده از روش های عددی امکان پذیر نیست ، در این صورت مي توانيم از روش درستنمايي ماكزيمم اصلاح شده استفاده كنيم . در اين فصل روش درستنمايي ماكزيمم اصلاح شده ( MML ) با ذكر مثال معرفي و ويژگي هاي آن با روش معمولي درستنمايي ماكزيمم ( ML ) مقايسه مي شود .فصل سوم : طرح عاملي 2k با خطاي تصادفي وايبلدر اين فصل با استفاده از روش MML برآورد پارامترها را در يك طرح عاملي k2 با خطاي تصادفي وايبل به دست مي آوريم و سپس بر اساس برآوردهاي بدست آمده آزمون فرض هاي مرتبط با اثرهاي اصلي و متقابل را بررسي مي كنيم . فصل چهارم : تحليل كواريانس با خطاي تصادفي لجستيك تعميم يافته در اين فصل مدل هاي تحليل كواريانس را زماني كه متغير مستقل و خطاي تصادفي هر دو داراي توزيع غير نرمال باشند بررسي مي كنيم . براي اين منظور ابتدا از روش MML برآورد پارامترهاي مدل را به دست مي آوريم آن گاه آماره هايي را براي آزمون فرض هاي مرتبط با مقابله هاي خطي معرفي مي كنيم . فصل پنجم : مثال هاي عددي در اين فصل كاربرد روش هاي ذكر شده در فصل هاي قبل را با ذكر مثال هاي عددي نشان مي دهيم .1-1- مقدمه در اين فصل مفاهيم مورد نياز در پايان نامه بيان مي شوند . مفاهيمي از قبيل : طرحهاي عاملي ، مقابله ها ، تحليل كواريانس ، توزيع وايبل و خواص آن ، توزيع لجستيك تعميم يافته و روش درستنمايي ماكزيمم .1-2- طرح هاي عامليطرحهاي عاملي که توسط فيشر ( 1935) و يتس (1937) معرفي شدند اغلب بهترين و پر استفاده ترين طرح ها برای انجام آزمایش در کاربردهاي صنعتي هستند . در این گونه طرح ها اثرهاي عوامل چندگانه بر خروجی به صورت همزمان مورد بررسي قرار مي گيرند . اين طرح ها کارايي بيشتري نسبت به روش قديمي هر بار يک عامل دارند . همچنين طرح هاي عاملي توانايي تشخيص و برآورد اثرهاي متقابل بين عوامل را فراهم مي کنند در حالي که روش هر بار يک عامل اين قابليت را ندارد . در روش هر بار یک عامل ، یک سطح پایه برای هر عامل در نظر گرفته می شود . سپس در هر مرحله سطح یکی از عوامل را تغییر می دهیم در حالی که بقیه عوامل در سطح ثابتی قرار دارند . برای مثال فرض کنید تاثیر دما و ماده اولیه را بر خروجی یک آزمایش شیمیایی بررسی می کنیم .سطح پایه برای دما و ماده اولیه به ترتیب دمای متوسط و ماده اولیه ب می باشند . آن گاه مشاهدات فقط از تیمارهایی که با * مشخص شده اند ، به دست می آیند . در این حالت بررسی اثر متقابل امکان پذیر نمی باشد . دمای زیاددمای متوسطدمای کم*ماده اولیه الف***ماده اولیه ب*ماده اولیه ججدول یک - روش هر بار يک عامل يکي از رايج ترين طرح هاي عاملي طرح عاملي k2 است که در آن k تعداد عامل ها و هر عامل دارای دو سطح مي باشد .هدف اصلي از اين طرح تعيين موثرترين عامل است و در حقيقت اين يک آزمايش اکتشافي است که روند بررسي عوامل را براي ما روشن مي سازد .در منابع دوره کارشناسی آمار معمولا طرح هاي عاملي بر اساس فرض نرمال بودن خطا پايه ريزي شده اند اما در عمل توزيع هاي غير نرمال متداول ترند . 1-2-1- طرح عاملي 22 فرض كنيد عوامل A و B هر كدام دارای دو سطح می باشند ، مدل آنالیز واریانس را به صورت زير در نظر می گیریم : ( 1-2-1 ) كه در آن µميانگين كلي، اثر i امين سطح عامل A ، اثر jامين سطح عامل B، اثر متقابل و خطاي تصادفي مي باشد .1-2-2- مقابله ها چهار ترکیب تیماری را با نماد (1) ، a ، b ،ab نشان می دهیم . (1) نشان دهنده سطح پايين هر دو عامل (i=1 , j=1 )، a نشان دهنده عامل A در سطح بالا(i=2, j=1 )، b نشان دهنده عامل B درسطح بالا (i=1 , j=2 ) و abنشان دهنده سطح بالاي هر دو عامل (i=2 , j=2 ) مي باشد . در طرح عاملی 22 به بررسی اثرهاي اصلي A و B و اثرمتقابل دوعاملي AB علاقه مند هستیم . اثر اصلی عاملA وB را با تفاوت ميانگين مشاهدات در سطح بالا و در سطح پايين اندازه گیری ميكنيم : اگر میزان تاثیر عامل A بر خروجی ، به سطح به کار رفته از عامل B بستگی داشته باشد ، بنا به تعریف اثر متقابل وجود دارد . میزان اثر متقابل A و B را بر متغیر پاسخ به صورت زیر اندازه گیری می کنیم :با توجه به عبارت مربوط به اثر A ، ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آن A در سطح بالاست ( +a , +ab) ، 1+ و ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آن A در سطح پایین است یعنی ( (1)b , ) ، 1- است و همچنین یک مقابله است ( مجموع ضرایب آن برابر صفر است (0=1+1- 1+ 1- ) ) . مقابله هاي A ، B و ABرا به این صورت تعریف می کنیم : ضرایب مقابله ها براي طرح عاملي22 در جدول زیر داده شده است . AbbA(1)اثرها1+1-1+1-A1+1+1-1-B1+1-1-1+ABجدول دو - ضرایب مقابله ها در طرح عاملي22 به طور واضح ، مقابله ها نسبت به هم متعامد هستند .مجموع مربعات اثر هاي اصلي ومتقابل به صورت زير هستند . 1-2-3- طرح عاملی k2 ساده ترین طرح در رده طرح های k2 ، طرح 22 است . طرح عاملی k2 طرحی است مشتمل بر k عامل ، هر یک در دو سطح ، و چون پاسخ کامل چنین طرحی نیاز به تیمار دارد آن را طرح k2 نامیده اند . مدل آماری برای طرح k2 شامل اثر اصلی ، اثرمتقابل دو عاملی ، اثر متقابل سه عاملی و بالاخره اثر متقابل k عاملی است . پس طرح k2 دارای اثر است . همان طور که در طرح 22 نشان داده شد برای تعیین برآورد یک اثر و محاسبه مجموع مربعات آن اثر باید مقابله مربوط به آن اثر را تعیین کرد . که همواره می توان مقابله ها را با استفاده از جدول علائم مثبت و منفی ، مانند جدول یک در طرح 22 ، مشخص کرد . برای تعیین مقابله هر اثر کافی است ترکیب های تیماری را در علائم متناظر آن ها در ستون آن اثر ضرب کرده و آن ها را با هم جمع کنیم .اما ممکن است این روش برای به دست آوردن مقابله ها وقتی تعداد عوامل نسبتا زیاد است چندان مناسب نباشد . در این گونه موارد می توان از روش دیگری برای تعیین مقابله ها استفاده کرد . برای تعیین مقابله هر اثر در طرح عاملی k2 مشتمل بر k عامل A ، B ، .... ، و K کافی است ضرب طرف راست عبارت زیر را انجام دهیم