چکیدهنمونه گیری مضاعف (یا نمونه گیری دو فازی) یک طرح نمونه گیری است که با استفاده از اطلاع از متغیر یا متغیرهای کمکی متعدد که در ارتباط با متغیر مورد مطالعه می باشند، دقت برآوردگرهای میانگین جامعه را افزایش می دهند. در طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی (DSS) در فاز اول یک نمونه ی اولیه بزرگ از متغیرهای کمکی گرفته شده و واحدهای نمونه طبقه بندی می شوند سپس در فاز دوم، زیر نمونه ای انتخاب شده و متغیر مورد مطالعه اندازه گیری می شود. در این پایان نامه با استفاده از طرح نمونه گیری DSS، دو کلاس از برآوردگرها ی میانگین جامعه مطرح می شوند. همچنین در بین این کلاس ها، بهترین برآوردگرها بطور مجانبی و واریانس تقریبی آن ها بدست می آیند، سپس این کلاس از برآوردگرها با کلاس برآوردگرهای مربوط به طرح نمونه گیری مضاعف طبقه بندی نشده (USDS) مورد مقایسه قرار می گیرند. در پایان با استفاده از یک جامعه واقعی نتایج بدست آمده را اثبات می کنیم. کلمات کلیدی : متغیر مورد مطالعه – متغیر کمکی – اریبی – واریانس -نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی فهرست مطالب عنوان صفحهفصل اول: مباحث مقدماتی 1-1 مقدمه...............................................................................................................................................11-2 تعاریف و مفاهیم پایه ای..............................................................................................................31-3 طرح های نمونه گیری...............................................................................................................12 فصل دوم:طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی با استفاده ازیک اطلاع کمکی 2-1 مقدمه............................................................................................................................................192-2 پارامترهای جامعه و طبقات......................................................................................................222-3 آماره های نمونه ای طبقات......................................................................................................242-4 برآورد معمولی میانگین در نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی.................................272-5 برآوردگر رگرسیونی مرکب و برآوردگر رگرسیونی جدا در نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی..........................................................................................................................282-5-1 برآوردگر رگرسیونی مرکب برای میانگین جامعه.......................................................292-5-2 برآوردگر رگرسیونی جدا برای میانگین جامعه............................................................302-6 یک کلاس بزرگ از برآوردگرها برای میانگین جامعه با استفاده از یک متغیر کمکی.302-7 یک کلاس از برآوردگرهای مرکب برای میانگین جامعه در نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی..........................................................................................................................322-7-1 محاسبه اریبی و واریانس کلاس برآوردگرهای مرکب...............................................342-7-2 کلاس برآوردگرهای مرکب بر اساس برآورد مقدار بهینه.........................................392-7-3 مقایسه کلاس برآورد گرهای مرکب و برآوردگر معمولی ...............................432-8 یک کلاس از برآوردگرهای جدا برای میانگین جامعه بر اساس نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی..........................................................................................................................442-8-1 محاسبه اریبی و واریانس کلاس برآوردگرهای جدا ..................................................472-8-2 کلاس برآوردگرهای جدا بر اساس برآورد مقدار بهینه..............................................502-9 مقایسه دو کلاس برآوردگرهای مرکب و برآوردگرهای جدا در طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی...........................................................................................................53 فصل سوم: طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی با استفاده از اطلاعات کمکی چند متغیره 3-1 مقدمه............................................................................................................................................543-2 پارامترهای جامعه و طبقات......................................................................................................553-3 آماره های نمونه ای طبقات......................................................................................................573-4 برآوردگرهای رگرسیونی مرکب و جدا در نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی با استفاده از اطلاعات کمکی چند متغیره..................................................................................593-4-1 برآوردگر رگرسیونی مرکب چند متغیره برای میانگین جامعه.................................603-4-2 برآوردگر رگرسیونی جدا چند متغیره برای میانگین جامعه.....................................613-5 یک کلاس بزرگ از برآوردگرها برای میانگین جامعه با استفاده از اطلاعات کمکی چند متغیره...................................................................................................................................623-6 یک کلاس از برآوردگرهای مرکب برای میانگین جامعه در نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی....................................................................................................................................653-6-1 محاسبه اریبی و واریانس کلاس برآوردگرهای مرکب...............................................673-6-2 کلاس برآوردگرهای مرکب بر اساس برآورد مقدار بهینه..........................................723-6-3 مقایسه کلاس برآورد گرهای مرکب و برآوردگر معمولی ................................743-7 یک کلاس از برآوردگرهای جدا در نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی...................753-7-1 محاسبه اریبی و واریانس کلاس برآوردگرهای جدا...................................................783-7-2 کلاس برآوردگرهای جدا بر اساس برآورد مقدار بهینه..............................................843-7-3 مقایسه کلاس برآورد گرهای جدا و برآوردگر معمولی .....................................87 فصل چهارم: مقایسه طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقهبندیبا طرح نمونه گیری مضاعف (طبقه بندی نشده) 4-1 مقدمه............................................................................................................................................894-2 یک کلاس از برآوردگرها برای میانگین جامعه در طرح نمونه گیری مضاعف طبقه بندی نشده (USDS) با استفاده از یک متغیر کمکی.............................................904-2-1 آماره های نمونه ای...........................................................................................................904-2-2 کلاس برآوردگرهای میانگین جامعه بر اساس برآورد مقدار بهینه.........................924-3 مقایسه دو کلاس برآوردگرهای مرکب و جدا در طرح نمونه گیری DSS با کلاس برآوردگرها در طرح نمونه گیری USDSبا استفاده از یک متغیر کمکی........................934-4 یک کلاس از برآوردگرهای میانگین جامعه در نمونه گیری مضاعف طبقه بندی نشده (USDS) با استفاده از اطلاعات کمکی چند متغیره..............................................................964-5 مقایسه کلاس برآوردگرهای مرکب در طرح نمونه گیری DSS و کلاس برآوردگرها در طرح نمونه گیری USDSبا استفاده از اطلاعات کمکی چند متغیره.............................103 فصل پنجم: مثال کاربردی و نتیجه گیری 5-1 مقدمه..........................................................................................................................................1065-2 معرفی و نحوه جمع آوری داده ها........................................................................................1075-3 کارایی نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی...................................................................112 پیوست (برنامه های نرم افزاری)..............................................................................115واژه نامه فارسی به انگلیسی.....................................................................................127واژه نامه انگلیسی به فارسی.....................................................................................130فهرست منابع............................................................................................................132 فهرست جدول ها عنوان و شماره صفحه جدول 5-1 : حجم نمونه در هر یک از طبقات در دو فاز از نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی...........................................................................................................................108جدول 5-2 : آماره های توصیفی.........................................................................................................109جدول 5-3 : ضریب همبستگیپیرسون...........................................................................................110جدول 5-4 : مقایسه برآوردگرها بر اساس میزان کارایی آن ها....................................................113 فهرست شکل ها عنوان و شماره صفحه شکل 1-1 نمونه گیری تصادفی ساده به اندازه 40 از جامعه 400 واحدی..........................13شکل 1-2 نمونه گیری تصادفی طبقه ای..........................................................................................15شکل 1-3 نمونه گیری مضاعف............................................................................................................17نمودار 5-1 نمودارهای پراکنش ضریب همبستگی میان متغیر مورد مطالعه و متغیرهای کمکی.........................................................................................................................................................111نمودار 5-2 میزان کارایی برآوردگرها...............................................................................................114 فهرستنشانههایاختصار SRS = Simple Random Sampling SRSWR = Simple Random Sampling With Replacement SRSWOR= Simple Random Sampling With Out Replacement DSS=Double Sampling for Stratification USDS= Un-Stratified Double Sampling Deff = Design effect RE = Relative Efficeincy فصل 1 مباحث مقدماتی 1-1 مقدمه یکی از توانایی های علم آمار تحلیل موضوعاتی با اطلاعات عددی انبوه می باشد. در واقع در هر بررسی آماری مراحل جمع آوری، پاک سازی، تلخیص و تحلیل داده ها و نتیجه گیری مورد توجه قرار می گیرد. مرحله ی جمع آوری داده هابه عنوان زیر بنای بررسی های آماری دارای اهمیت ویژه ای می باشد، زیرا در صورت وجود نقصی در این مرحله از ارزش و اعتبار کل پژوهش کاسته می شود. یک جامعه متناهی در نظر بگیرید. جمع آوری اطلاعات عددی از این جامعه با استفاده از دو روش سرشماری و نمونه گیری امکان پذیر است، در صورتی که در جوامع نامتناهی سرشماری امکان پذیر نمی باشد و باید تنها از روش نمونه گیری استفاده کرد. هدف از انواع روش های نمونه گیری، تهیه ی اطلاعاتی از جامعه با مطالعه ی بخشی از آن به نام نمونه است. در واقع نمونه گیری، فرایند انتخاب واحدها از جامعه می باشد به طوری که به کمک آن ها بتوان از جامعه کسب اطلاع کرد. بنابراین یکی از مسائل مهم در نمونه گیری، تطابق نمونه با کل جامعه است. در حالت کلی برای نمونه گیری، دو روش نمونه گیری احتمالی و غیراحتمالی معرفی می گردد. در نمونه گیری احتمالی[1] که اولین بار توسط دمینگ[2] ]7[ در سال 1950 مطرح شده است، هر واحد نمونه با احتمالی مشخص از جامعه استخراج می شود. کاربرد گسترده ی این روش امروزه به گونه ای است که این روش جايگزين نمونه گیری غیر احتمالی شده است.همچنین در بسیاری از نمونه گیری ها، در حین جمع آوری اطلاعات مربوط به متغیر مورد مطالعه و یا قبل از آن، ممکن است اطلاعاتی درباره متغیر یا متغیرهای دیگری که با متغیر مورد مطالعه همبستگی دارند موجود باشد که به این نوع اطلاعات، اطلاعات کمکی گفته مي شود. از اطلاعات کمکی در مرحله ی برآوردیابی و در طرح نمونه گیری می توان استفاده کرد.راه دست یابی به اطلاعات کمکی مفید از منابع متعدد می باشد و اغلب این اطلاعات در جوامع متناهی باعث افزایش دقت برآوردگرها می شود. الکلین[3] ]18[ در سال 1958، رائو[4] ]21[ در سال 1967، سینگ[5] ]37[ در سال 1967، جان[6] ]13[ در سال 1969، سریواستاوا[7] ]40[ در سال 1971 و ویشواکارما و همکاران[8] ]49[ در سال 2012در مطالعات خود از اطلاعات کمکی به طور گسترده استفاده کرده اند. در این فصل، در بخش (1-2) به بیان تعاریف و مفاهیم پایه ای در نمونه گیری که شامل جامعه متناهی، نمونه، طرح نمونه گیری و... است، پرداخته و سپس در بخش (1-3) انواع طرح های نمونه گیری را تعریف می کنیم. 1-2 تعاریف و مفاهیم پایه ای در مباحث نمونه گیری داشتن تعاریف دقیق و درست از مفاهیمی هم چون جامعه، نمونه، طرح نمونه گیری و... از ضروری می باشد. از این رو در این فصل به بیان تعاریف پایه ای و برخی نماد ها که در فصل های بعدی رساله مورد استفاده قرار خواهند گرفت، می پردازیم. نماد ها به صورتی در نظر گرفته شده که در اغلب متون نمونه گیری مورد استفاده قرار گرفته است. عمده مطالب این بخش مبتنی بر مراجع کاکران ]4[ و عمیدی ]52[است. جامعه ی متناهی [9]: یک جامعه ی متناهی از مجموعه ای مشتمل بر تعداد متناهی عناصر متمایز تشکیل شده است. مقدارN ، اندازه ی جامعه نامیده می شود. یک جامعه ی متناهی U را به صورت زیر نمایش می دهیم:طرح نمونه‌گيري[10] : با در نظر گرفتن يك طرح نمونه‌اي معين مي‌توان احتمال انتخاب يك نمونه دلخواه مانند s را بيان نمود. اين احتمال را با نماد p(s) نمایش خواهیم داد. حال با فرض این كه تابع p(.) به‌گونه‌اي وجود دارد كه p(s)احتمال انتخاب s را تحت فرض استفاده از طرح مورد نظر به دست دهد، تابع p(.)طرح نمونه‌گيري ناميده مي‌شود. هر نمونه s بر اساس هر طرح نمونه‌گيري مفروض p(.)را مي‌توان به عنوان مشاهده‌اي از متغير تصادفي مجموعه- مقدار S كه توزيع احتمال آن بوسيله تابع p(.)بيان مي‌شود، مورد توجه قرار داد. اگر را معرف تمام نمونه‌هاي ممكن s در نظر بگيريم، در اينصورت با در نظر گرفتن زير مجموعه‌هاي تهي و U، مجموعه‌اي شامل N2زير مجموعه با اندازه‌هاي متفاوت ازUخواهد بود. لذا براي هر داريم:از آنجا كه يك توزيع احتمال بر روي است، داريم: ، براي هر نمونه [11] : عناصري از جامعه كه مشخصات آن‌ها اندازه‌گيري مي‌شود، تشكيل يك نمونه مي‌دهند. در واقع يك نمونه، زيرمجموعه‌اي از جامعة U است كه طبق برنامة خاصي به دست مي‌آيد. این زيرمجموعه به طور معمول با sنمایش داده شده و تعداد عناصر نمونه s است. در بسياري از مواقع نمونه‌هايي را در نظر مي‌گيريم كه با استفاده از يك طرح نمونه‌گيري احتمالي تحقق مي‌يابند. دو تعريف براي اصطلاح نمونه وجود دارد كه در اكثر مواقع مورد استفاده قرار مي‌گيرند:الف- نمونه ي با جايگذاري: دنباله‌اي متناهي به صورت، كه براي هرداشته باشيم، در اين حالت واحدهاي انتخاب شده الزاماً متفاوت نيستند. در این روش انتخاب هر واحد از انتخاب واحدهای دیگر مستقل است.ب- نمونه ي بدون جايگذاري: مثل حالت قبل زير مجموعه‌اي غير تهي از U شامل n عنصراست. در اين حالت واحدهاي انتخاب شده الزاماً مجزا مي‌باشند. در واقع در این روش به صورت تصادفی یک واحد انتخاب شده سپس بدون برگرداندن این واحد به جامعه به تصادف واحد دوم انتخاب می شود و این فرایند تا انتخاب n واحد نمونه ادامه می یابد.حجم نمونه يا اندازه نمونه كه بانشان داده مي‌شود، برابر با تعداد اعضاي s است. مقدار براي تمام نمونه‌هاي ممكن الزاماً برابر نيست. چنانچه طرح نمونه‌گيري به‌گونه‌اي باشد كه حجم نمونه قبل از پيمايش معلوم و برابر با عدد ثابتي باشد، آن را طرح با حجم ثابتگوييم. در اين حالات تمام نمونه‌هاي ممكن داراي حجم يكسان بوده و براي سادگي از نماد nبراي معرفي حجم نمونه استفاده خواهيم نمود.