چکیدهآماره های ترتیبی و چندکها نقش بسیار اساسی در آمار ناپارامتری ایفا می کنند. چندک های تابع توزیع، در حالت تک متغیره با توجه به مفهوم آماره های ترتیبی روی خط اعداد حقیقی تعریف می شوند. تعمیم مستقیم چندک هابه حالت چند متغیرهبه خاطر نبود ترتیب طبیعی داده ها در فضای با بعد بیش از یک امکان پذیر نمی باشد، از این رو تعاریف و مفاهیم جدیدی برای ایجاد ترتیب در فضاهای چند بعدی مورد نیاز است که از مهمترین آنها می توان به مفهوم تابع عمق اشاره کرد. در فصل اول این پایان نامه به بیان تعاریف و مفاهیم لازم برای معرفی چندک های چند متغیره می پردازیم ، در فصل دوم با استفاده از یک نوعتابع عمق خاص به نام تابع عمق نیم فضا چندک چند متغیره را معرفی می کنیم. فرگوسن در سال 1967 چندک یک متغیره را با نمایشی متفاوت از گذشته معرفی کرد و در سال 1992 ابدوس و تئودورس با دنبال کردن کار فرگوسن چندک های چند متغیره را تعریف کرده اند و در سال 1996 چادوری با نگاهی متفاوت از ابدوس و تئودورس تعمیمی دیگر از کار فرگوسن ارائه داد. این مطلب را در فصل سوم گردآوری کرده ایم. چندک های چند متغیره، با استفاده از تابع مشتق، در فصل چهارم بررسی خواهند شد. در فصل پنجم تابع چندکی را تعمیم داده، و از این طریق به تعمیمی دیگر از چندک چند متغیره دست خواهیم یافت. در فصل ششم آماره های مقیاس و مکان در فضای چند بعدی را بر اساس تابع چندکی، توابع عمق و چندک های مورد بررسی قرار می دهیم و در آخر با ارائه شبیه سازی های مناسب چندک های چند متغیره را برای برخی از روش ها در فصل هفتم ارائه کرده ایم.واژگان کلیدی: تابع عمق، مکان، میانگین بریده شده، مقیاس، ناحیه درون چارکی فهرست مطالبعنوان صفحهفصل اول: مقدمه...........................................................................................................11-1-چندک مرتبه.....................................................................................................................21-2-1-تابع چندکی در حالت یک متغیره..............................................................................................51-2-3-تابع چندکی در حالت چند متغیره............................................................................................7فصل دوم: چندک ها بر اساس تابع عمق......................................................102-1-مقدمه..................................................................................................................................................112-2-تابع عمق............................................................................................................................................112-2-1-تابع عمق آماری...........................................................................................................................122-2-1-1-ناحیه ی درونی عمق .......................................................................................................122-2-1-2-تابع عمق نیم فضا..................................................................................................................122-2-1-2-1-ناحیه ی درونی عمق نیم فضا........................................................................................132-2-1-3-ناحیه ی مرکزی ام...........................................................................................................152-2-1-4-ناحیه ی بیرونی ام............................................................................................................162-2-1-5-سطوح چندکی بر اساس عمق............................................................................................172-3-نتیجه گیری.......................................................................................................................................17فصل سوم: چندک های چند متغیره براساس مینیمم کردن نرم...............183-1-مقدمه..................................................................................................................................................193-2-1-روش ابدوس و تئودورس...........................................................................................................193-2-2-بررسی تابع چندکی توسط چندک های ................................................223-3-1-روش چادوری...............................................................................................................................233-3-2-بررسی تابع چندکی توسط چندک های ()..............................................253-4-نتیجه گیری.......................................................................................................................................26فصل چهارم: چندک های چند متغیره داده ای بر اساس شیب.................274-1-مقدمه..................................................................................................................................................284-2-بکارگیری روش شیب در بدست آوردن چندک های چند متغیره........................................284-3-آماره ی آزمون علامت.....................................................................................................................294-3-1-آماره آزمون علامت برای حالت تک متغیره..........................................................................294-3-2-آماره آزمون علامت برای حالت چند متغیره........................................................................304-3-2-1-آماره آزمون علامت فضا در حالت یک متغیره................................................................314-4-میانه جهت داده شده به تابع چندکی بر اساس روش شیب.................................................324-5-نتیجه گیری.....................................................................................................................................32فصل پنجم: چندک تعمیم یافته.................................................................335-1-معرفی به عنوان چندک تعمیم یافته...........................................................................345-1-1-حجم ناحیه های مرکزی به عنوان یک تابع چندکی.........................................................355-1-2-منحنی های لورنز به عنوان توابع چندکی تعمیم یافته...................................................375-1-3-چندک های سطوح تابع عمق..................................................................................................39فصل ششم: آماره های مکان و مقیاس در.............................................416-1-مقدمه.................................................................................................................................................426-2-آماره مکانیL در ..................................................................................................................426-2-1-آماره مکانی Lبراساس توابع چندکی..................................................................................426-2-2-آماره مکانی Lبراساس توابع عمق........................................................................................436-2-3-آماره L مکانی براساس چندک های ...............................................................................466-3-آماره های مقیاس برای آنالیز چند متغیره.................................................................................466-3-1-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس میانه ی جهت داده شده به توابع چندکی .......................................................................................................................................................................476-3-2-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع عمق........................................................47فصل هفتم: شبیه سازی..............................................................................487-1-مقدمه................................................................................................................................................497-2-شبیه سازی روش تابع عمق........................................................................................................497-2-1-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نرمال...........................................................................497-2-2-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نمایی..........................................................................527-2-3-روش تابع عمق با استفاده از توزیع یکنواخت...................................................................547-3-شبیه سازی منحنی مقیاس.......................................................................................................567-3-1-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع مستطیلی..................................................................567-3-2-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره......................................................58منابع...........................................................................................................60پیوست.......................................................................................................65 فهرست شکل هاعنوان و شماره صفحهشکل 1-1-چندک ام وقتی نمودار تابع توزیع اکیدا پیوسته باشد.............................................3شکل 1-2-چندک ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای قطعه افقی باشد......................................4شکل 1-3-چندک ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای جهش باشد..............................................4شکل 1-4-ناحیه ی درونی چندک ام در حالت یک متغیره.......................................................6شکل 1-5-ناحیه های درونی حول مرکز.............................................................................................7شکل 1-6-انتخاب یک ناحیه در بین ناحیه های تودر تو که کمترین احتمال بزرگتر از را دارد................................................................................................................................................................8شکل 2-1-ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال...................................................................14شکل 2-2-ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی..................................................................14شکل 5-1-منحنی مقیاس......................................................................................................................36شکل 7-1-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره با های 1/0، 2/0 و 4/0..............................................................................................................................................................50شکل 7-2-عمق نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره.......................................................51شکل 7-3-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره با های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0.......................................................................................................................................52شکل 7-4-عمق نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره.......................................................53شکل 7-5-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره با های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0.........................................................................................................................................54شکل 7-6-عمق نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره..................................................55شکل 7-7-منحنی مقیاس توزیع یکنواخت استاندارد....................................................................56شکل 7-8-منحنی مقیاس توزیع یکنواخت روی بازه (2و0)......................................................57شکل 7-9-منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره .......................................................58شکل 7-10-منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره ................................................59فصل اولمقدمه در این فصل ما چندک و تابع چندکی را برای حالت یک متغیره تعریف کرده و سپس تابع چندکی را به حالت چند متغیره تعمیم می دهیم.1-1- چندک مرتبهفرض کنید متغیر تصادفی دارای تابع توزیع باشد.پارامتر را چندک مرتبه برای یا متغیر تصادفی می نامیم ، هرگاه نامساوی دو طرفه زیر برقرار باشد:این نامساوی دو طرفه بدین معنی است که مقدار احتمال در فاصله بازحداکثر و در فاصله نیم باز حداقل است.اینک به حالات خاص زیر توجه کنید:الف. اگر پیوسته واکیداً صعودی باشد، یعنی نمودار آن دارای خطوط افقی یا جهش نباشد، آنگاه نامساوی بالا تبدیل به تساوی شده و در این حالت پاسخ یکتای معادله زیر خواهد بود:شکل (1-1) به خوبی بیانگر این موضوع می باشد.شکل (1-1): چندک ام در یک توزیع پیوسته وقتی نمودار تابع توزیع اکیدا پیوسته باشد. ب. اگر نمودار شامل یک یا چند خط افقی باشد، ممکن است برای بعضی از مقادیر یکتا نباشد. به عنوان مثال در شکل (1-2) تمام نقاط بازه ی می تواند به عنوان چندک تفسیر شود.شکل (1-2): چندک ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای قطعه افقی باشد. ج. اگر در یک یا چند نقطه دارای جهش باشد، ممکن است برای بعضی از مقادیر متفاوت یکسان باشد. برای درک بهتر موضوع به شکل زیر توجه کنید. شکل (1-3): چندک ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای جهش باشد.1-2-1- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت یک متغیرهچندک ام یک تابع توزیع تک متغیره ی ، می باشد. میانه توسط محاسبه می شود و براینقاط و بازه ای به فرم رابطه (1-1) را شکل می دهند که مجموع احتمال در خارج از بازه، باشد. این دیدگاه ما را به سمت تعریف ناحیه درونی چندک ام به صورت(1-1)هدایت می کند که به وضوح دارای احتمال است.به عنوان مثال به ازای ناحیه ی درون چارکی تشکیل می شود و با میل دادن به سمت صفر میانه حاصل خواهد شد. وقتی که بین و رابطه ی برقرار باشد دو مقدار به صورت زیر بدست خواهد آمد:,های حاصل به عنوان نقاط مرزی ناحیه درونی چندک ام تلقی خواهند شد.ناحیه ی درونی چندک ام برای اطلاعات چندک برای توزیع را به صورت کامل مشخص می کند. یک ویژگی بارز این ناحیه، تودرتو بودن آن است، بدین معنی که به ازای ناحیه درونی چندک ام زیر مجموعه ناحیه درونی چندک ام است. برای یکسان سازی نمادها، با توجه به وجود تنها دو جهت در ، ، تابع چندکی جهت یافته از میانه را به صورت زیر تعریف می کنیم:شکل زیر ناحیه ی درونی چندک ام در حالت یک متغیره را نشان می دهد.شکل (1-4): ناحیه ی درونی چندک ام در حالت یک متغیره در شکل (1-4) نقاط و نقاط مرزی هستند که ناحیه ی درون این بازه دارای احتمال و ناحیه ی خارج این بازه دارای احتمال می باشد.1-2-2- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت چند متغیرهبرای تعریف تابع چندکی در حالت چند متغیره نیازمند تعریف میانه هستیم. روش های مختلفی برای محاسبه میانه در حالت چند متغیره وجود دارد (به عنوان مثال در بخش 2-2 به روش تابع عمق اشاره خواهد شد) حالا فرض می کنیم که میانه ی داده شده است و که به صورت زیر تعریف می شود:همچنین فرض می کنیم خانواده ی که در آن برای ، و است، شامل ناحیه های تودرتو حول باشد. تابع چندکی جهت یافته از میانهبه سادگی با شاخص گذاری هر نقطه روی کران ساخته می شود که به صورت مبسوط مورد بررسی قرار خواهد گرفت.شکل زیر، ناحیه های درونی را نشان می دهد که همگی حول مرکز یعنی میانه واقع شده اند.شکل (1-5): ناحیه های درونی حول مرکز به طوریکه