چكيدهفرض كنيد G يك گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه های عناصرگروه G را با نماد نشان دهیم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمایش می دهند به صورت تعریف می کنند. در اين رساله ابتدا نشان ميدهيم اگر جائيكه S گروه متناوب ساده ، يا گروههاي خطي طوري كه يا گروههاي متقارن طوري كه و يا گروههاي ساده ماتيو آنگاه G با S ايزومورف است. همچنين نشان ميدهيم اگر G گروهي متناهي با مركز بديهي باشد طوري كه تعداد سيلو زيرگروههاي آن به ازاي هر عدد اولبا تعداد سيلو زيرگروههاي گروهاي خطي كه درآن برابر باشد آنگاه Gبايد در شرط صدق كند.فهرست مطالبفصل اول تعاريف و قضيههاي مقدماتي1-1 مقدمه ........................................................................................... 11-2 تعاريف و مفاهيم مقدماتي .................................................................... 21-3 آشنايي با رده بندي گروههاي ساده متناهي................................................. 4فصل دوم تشخيصپذيري چند گروه ساده از طريق تعداد عناصر هممرتبه يك گروه2-1 مقدمه ........................................................................................... 122-2 تشخيصپذيري گروههاي متناوب ساده و ....................................... 142-3 تشخيصپذيري گروههاي متقارن ...................................................... 202-4 تشخيصپذيري گروههاي خطي ............................................. 312-5 تشخيصپذيري گروههاي ماتيو ............................................................. 392-6 تشخيصپذيري گروههاي ساده پراکنده ..................................................... 39فصل سوم تشخيصپذيري چند گروه ساده از طريق تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي3-1 مقدمه ........................................................................................... 533-2 تشخيصپذيري گروههاي خطي ............................................. 553-3 پیشنهادات برای ادامه کار.................................................................... 63مراجع ................................................................................................ 64فصل اول تعاريف و قضيههاي مقدماتي1-1 مقدمهاين فصل را به بيان تعاريف اوليه كه در سرتاسر رساله به كار خواهيم برد و همچنين بيان قضاياي معروفي كه از آنها استفاده خواهيم كرد، اختصاص ميدهيم. قضايايي كه بدون اثبات آورده شدهاند، در مقابل هر يك از آنها مرجعي مناسب معرفي شده است تا خواننده در صورت نياز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضيه را مشاهده كند.1-2 تعريف و مفاهيم مقدماتيتعريف: فرض كنيد گروه G روي مجموعه X عمل كند و در اين صورت مجموعه را پايدارساز x در G ناميده و با نماد یا نشان ميدهيم.تعريف: عمل G روي X را انتقالی ميگوئيم هر گاه به ازاي هر و از X عضوي از G مانند g باشد به طوري كه .تعریف: عمل G روي X را انتقالی است هر گاه به ازاي هر دوگانه و که در آن و برای هر عضوي از G مانند g باشد به طوري كه برای هر .تعريف: عمل گروه G روي مجموعه X را نيمهمنظم گوئيم هرگاه براي هر داشته باشيم{1}=قضيه 1-2-1 فرض كنيد گروه G روي X به طور نيمه منظم عمل كند آنگاه مرتبه G مقسومعليهي از مرتبه X است.برهان. به [8] رجوع شود.برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروههای آن را با نماد نمایش می دهیم.قضيه 1-2-2 فرض كنيد G يك گروه متناهي و N يك زيرگروه نرمال G باشد، آنگاه و مقسومعليهی از است و همچنين داريم.برهان. به [33] رجوع شود.تعريف: فرض كنيد n يك عدد صحيح باشد. در اين صورت ، مجموعه تمام اعداد اولي است كه n را ميشمارد.اگر G يك گروه متناهي باشد، را همان تعريف ميكنيم.قضيه 1-2-3 فرض كنيد G يك گروه متناهي، فرد باشد همچنين فرض كنيد P يك سیلو زيرگروه G و جائيكه . اگر P دوري نباشد، آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربي از است.برهان. به [24] رجوع شود.قضيه 1-2-4 فرض كنيد G يك گروه متناهي . همچنين فرض كنيد G داراي سري نرمال باشد. اگر و p مرتبه K را عاد نکند آنگاه نتايج زير برقرار است:i)ii) يعني ؛iii) به عبارت دیگر داریم جائيكه tيك عدد صحيح مثبت است و.برهان. به [27] رجوع شود.تعريف: فرض كنيد G يك گروه متناهي باشد و كه در آن m و n دو عدد طبيعي متبايناند. هر زيرگروه G از مرتبه m را يك زيرگروه هال مينامند. به عبارت ديگر، زيرگروه H از G را يك زير گروه هال گويند در صورتي كه و نسبت به هم اول باشد.همچنين اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و در اينصورت H را يك هال زير گروه G مينامند.قضيه 1-2-5 فرض كنيد G يك گروه متناهي حلپذير و، جائيكه و . همچنين فرض كنيد و تعداد هال زيرگروههاي G باشد، آنگاه است كه به ازاي هر در شرايط زير صدق ميكند:i) براي يك ؛ii) مرتبه يكي از فاكتورهاي اصلي از سري اصلي گروه G را عاد ميكند.برهان. به [12] رجوع شود.تعريف: گروه G را با گروه ميناميم هر گاه . اگر G يك گروه ساده و آن گاه G را يك گروه ساده ميناميم.قضيه 1-2-6 فرض كنيد G يك گروه ساده غير آبلي باشد در اين صورت .برهان. بنا به قضيه برنسايد هر گروه و هر گروه از مرتبه حلپذيرند، چون G غيرحلپذير است پس .۱- ۳ آشنايي با رده بندي گروههاي ساده متناهي گروههاي ساده را به چهار نوع گروه رده بندي كرده اند كه در ذيل به بيان اين رده بندي مي پردازيم:قضيه 1-۳- ۱ (قضية رده بندي گروههاي سادة متناهي)گروههاي ساده آبلي كه دقيقا عبارتند از كه در آن يك عدد اول است،گروههاي متناوب براي ،خانواده اي متنوع از گروهها از نوع لي[1]،گروههاي پراكنده كه يك مجموعة ۲۶ عضوي از گروههاي ساده است.قضيه 1 -۳- ۲ اگر آنگاه ساده است.برهان. به صفحة ۵۸ از [34] رجوع شود.گروههاي سادة متناهي از نوع لي خود به سه دسته تقسيم مي شود: گروههاي شوالي[2]گروههاي ساده و از نوع لي هستند كه شامل ۴ خانواده نامتناهي از گروههاي ساده مي باشند:1) (گروه خطي خاص تصويري)2) (گروه يكاني خاص تصويري)3) (گروه سيمپلكتيك تصويري)4) که درآن (گروه متعامد تصويري) گروههاي شوالي تابداركه اين گروها عبارتند از:،براي ؛ براي ،براي ؛ براي .گروه تايتگروهي ساده ومتناهي است كه زير گروهي از گروه مي باشد که آن را با نماد نشان می دهند. براي آشنايي بيشتر با گروههاي ساده چند نوع از آنها را بررسي مي كنيم. چندين خانواده از گروههاي كلاسيك وجود دارد كه با گروههاي ماتريسي بر روي يك ميدان متناهي پيوند دارند. اكنون ساده ترين اين گروهها را بررسي مي كنيم.فرض كنيد يك ميدان و يك عدد طبيعي باشد. مجموعة تمام ماتريسهاي معكوسپذير را كه درآيه هاي هر يك از آنها در اند را با نمايش مي دهيم. هر عضو را معمولا به صورت مي نويسيم كه در آن درايه واقع در سطر ام و ستونام ماتريس است. مجموعه با عمل ضرب ماتريسها تشكيل يك گروه مي دهد.تعريف: گروه را گروه خطي عام (از درجه بر) مي نامند.واضح است مجموعه تمام اعضای از كه دترمينان هر يك از آنها برابر۱ (عضو واحد ميدان) است زير گروهي از مي باشد. اين زير گروه را با نشان مي دهند.تعريف: گروه را گروه خطي خاص (از درجة بر) مي نامند.فرض كنيم يك ميدان متناهي باشد و . در اين صورت گروههاي و را به ترتيب با نماد و نيز نشان مي دهند.تعريف: اگر يك ميدان دلخواه باشد، گروه را گروه خطي خاص تصويري (از درجة بر) مي نامند وآن را با نمايش مي دهند.بعلاوه داريم: گروهرا با يا نيز نمايش مي دهند.فرض كنيد عددي طبيعي و ميدان دلخواهي باشد. با روشهاي مقدماتي مي توان ملاحظه كرد كه مركزگروه متشكل از تمام ماتريسهاي اسكالر مانند است كه در آن ماتريس واحد و عضوي از است وضمنا. يكريختيهاي جالبي بين گروههاي خطي خاص تصويري و گروههاي متناوب وجود دارد كه در زير به برخي از آنها اشاره مي كنيم:وفرض كنيد ماتريسي مربع باشد. ماتريس الحاقي را با نمايش داده و به شكل زير تعريف مي كنيم:كه در آن مزدوج مختلط است. اگر و دو ماتريس مربعي باشند، آنگاه . ماتريس مربعي را يك ماتريس يكاني نامند هرگاه .با توجه به تعريف ماتريسهاي يكاني داريم، كه در آن ماتريس هماني است ( لذا هر ماتريس يكاني وارونپذير است ). بعلاوه اگر يك ماتريس يكاني ويك ماتريس هرميتي باشد ( يعني ) آنگاهاگردترمينان برابر۱ باشد، آنگاه يك ماتريس يكاني خاص ناميده مي شود. بعلاوه حاصلضرب هر دو ماتريس يكاني باز هم يك ماتريس يكاني است. همچنين وارون هر ماتريس يكاني، ماتريسي يكاني است. از طرفي ماتريس هماني يك ماتريس يكاني است. در نتيجه ماتريسهاي يكاني همراه با عمل ضرب ماتريسها تشكيل يك گروه مي دهند كه به آن گروه يكاني گفته مي شود.تعريف: زير گروه متشكل از ماتريسهاي يكاني با دترمينان يك را گروه يكاني خاص مي نامند وآنرا با نمايش مي دهند. تعريف: گروه خارج قسمتي را گروه يكاني خاص تصويري مي نامند و آنرا با نمايش مي دهند. همچنين داريم: گروه كه آنرا با يا نيز نمايش مي دهند، براي همواره يك گروه ساده است به جز در حالات زير:علاوه بر اين:.يك فرم سيمپلكتيك بر فضاي برداري روي ميدان تابعي است مانند كه در خواص زير صدق كند:كه در آن و .را ناتبهگون ناميم هرگاه از اينكه به ازاي هر ، بتوان نتيجه گرفت . گروه سيمپلكتيك كه آن را با نيز نمايش مي دهند ، گروه ماتريسهاي اي است كه يك فرم سيمپلكتيك ناتبهگون را حفظ مي كند، يعني ماتريسهايي ناتكين مانند كه و يك فرم سيمپلكتيك ناتبهگون است.تعريف: گروه خارج قسمتي را يك گروه سيمپلكتيك تصويري مي نامند وآن را با نمايش مي دهند.گروه سيمپلكتيك را با نماد يا نيز نمايش مي دهند. اين گروه براي همواره يك گروه ساده است به جز در موارد زير:همچنين داريم: وماتريس ، را يك ماتريس متعامد مي ناميم هرگاه كه در آن ترانهادة ماتريس است. به وضوح هر ماتريس متعامد وارونپذير است و. همچنين دترمينان هر ماتريس متعامد است. حاصلضرب هر دو ماتريس متعامد باز هم يك ماتريس متعامد است. بعلاوه وارون يك ماتريس متعامد يك ماتريس متعامد است و همچنين ماتريس هماني نيز يك
تشخيصپذيري و k- تشخيصپذيري بعضي از گروههاي متناهي با استفاده از دو روش، مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه و تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي
چكيدهفرض كنيد G يك گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه های عناصرگروه G را با نماد نشان دهیم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمایش می دهند به صورت تعریف می کنند. در اين رساله ابتدا نشان ميدهيم اگر جائيكه S گروه متناوب ساده ، يا گروههاي خطي طوري كه يا گروههاي متقارن طوري كه و يا گروههاي ساده ماتيو آنگاه G با S ايزومورف است. همچنين نشان ميدهيم اگر G گروهي متناهي با مركز بديهي باشد طوري كه تعداد سيلو زيرگروههاي آن به ازاي هر عدد اولبا تعداد سيلو زيرگروههاي گروهاي خطي كه درآن برابر باشد آنگاه Gبايد در شرط صدق كند.فهرست مطالبفصل اول تعاريف و قضيههاي مقدماتي1-1 مقدمه ........................................................................................... 11-2 تعاريف و مفاهيم مقدماتي .................................................................... 21-3 آشنايي با رده بندي گروههاي ساده متناهي................................................. 4فصل دوم تشخيصپذيري چند گروه ساده از طريق تعداد عناصر هممرتبه يك گروه2-1 مقدمه ........................................................................................... 122-2 تشخيصپذيري گروههاي متناوب ساده و ....................................... 142-3 تشخيصپذيري گروههاي متقارن ...................................................... 202-4 تشخيصپذيري گروههاي خطي ............................................. 312-5 تشخيصپذيري گروههاي ماتيو ............................................................. 392-6 تشخيصپذيري گروههاي ساده پراکنده ..................................................... 39فصل سوم تشخيصپذيري چند گروه ساده از طريق تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي3-1 مقدمه ........................................................................................... 533-2 تشخيصپذيري گروههاي خطي ............................................. 553-3 پیشنهادات برای ادامه کار.................................................................... 63مراجع ................................................................................................ 64فصل اول تعاريف و قضيههاي مقدماتي1-1 مقدمهاين فصل را به بيان تعاريف اوليه كه در سرتاسر رساله به كار خواهيم برد و همچنين بيان قضاياي معروفي كه از آنها استفاده خواهيم كرد، اختصاص ميدهيم. قضايايي كه بدون اثبات آورده شدهاند، در مقابل هر يك از آنها مرجعي مناسب معرفي شده است تا خواننده در صورت نياز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضيه را مشاهده كند.1-2 تعريف و مفاهيم مقدماتيتعريف: فرض كنيد گروه G روي مجموعه X عمل كند و در اين صورت مجموعه را پايدارساز x در G ناميده و با نماد یا نشان ميدهيم.تعريف: عمل G روي X را انتقالی ميگوئيم هر گاه به ازاي هر و از X عضوي از G مانند g باشد به طوري كه .تعریف: عمل G روي X را انتقالی است هر گاه به ازاي هر دوگانه و که در آن و برای هر عضوي از G مانند g باشد به طوري كه برای هر .تعريف: عمل گروه G روي مجموعه X را نيمهمنظم گوئيم هرگاه براي هر داشته باشيم{1}=قضيه 1-2-1 فرض كنيد گروه G روي X به طور نيمه منظم عمل كند آنگاه مرتبه G مقسومعليهي از مرتبه X است.برهان. به [8] رجوع شود.برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروههای آن را با نماد نمایش می دهیم.قضيه 1-2-2 فرض كنيد G يك گروه متناهي و N يك زيرگروه نرمال G باشد، آنگاه و مقسومعليهی از است و همچنين داريم.برهان. به [33] رجوع شود.تعريف: فرض كنيد n يك عدد صحيح باشد. در اين صورت ، مجموعه تمام اعداد اولي است كه n را ميشمارد.اگر G يك گروه متناهي باشد، را همان تعريف ميكنيم.قضيه 1-2-3 فرض كنيد G يك گروه متناهي، فرد باشد همچنين فرض كنيد P يك سیلو زيرگروه G و جائيكه . اگر P دوري نباشد، آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربي از است.برهان. به [24] رجوع شود.قضيه 1-2-4 فرض كنيد G يك گروه متناهي . همچنين فرض كنيد G داراي سري نرمال باشد. اگر و p مرتبه K را عاد نکند آنگاه نتايج زير برقرار است:i)ii) يعني ؛iii) به عبارت دیگر داریم جائيكه tيك عدد صحيح مثبت است و.برهان. به [27] رجوع شود.تعريف: فرض كنيد G يك گروه متناهي باشد و كه در آن m و n دو عدد طبيعي متبايناند. هر زيرگروه G از مرتبه m را يك زيرگروه هال مينامند. به عبارت ديگر، زيرگروه H از G را يك زير گروه هال گويند در صورتي كه و نسبت به هم اول باشد.همچنين اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و در اينصورت H را يك هال زير گروه G مينامند.قضيه 1-2-5 فرض كنيد G يك گروه متناهي حلپذير و، جائيكه و . همچنين فرض كنيد و تعداد هال زيرگروههاي G باشد، آنگاه است كه به ازاي هر در شرايط زير صدق ميكند:i) براي يك ؛ii) مرتبه يكي از فاكتورهاي اصلي از سري اصلي گروه G را عاد ميكند.برهان. به [12] رجوع شود.تعريف: گروه G را با گروه ميناميم هر گاه . اگر G يك گروه ساده و آن گاه G را يك گروه ساده ميناميم.قضيه 1-2-6 فرض كنيد G يك گروه ساده غير آبلي باشد در اين صورت .برهان. بنا به قضيه برنسايد هر گروه و هر گروه از مرتبه حلپذيرند، چون G غيرحلپذير است پس .۱- ۳ آشنايي با رده بندي گروههاي ساده متناهي گروههاي ساده را به چهار نوع گروه رده بندي كرده اند كه در ذيل به بيان اين رده بندي مي پردازيم:قضيه 1-۳- ۱ (قضية رده بندي گروههاي سادة متناهي)گروههاي ساده آبلي كه دقيقا عبارتند از كه در آن يك عدد اول است،گروههاي متناوب براي ،خانواده اي متنوع از گروهها از نوع لي[1]،گروههاي پراكنده كه يك مجموعة ۲۶ عضوي از گروههاي ساده است.قضيه 1 -۳- ۲ اگر آنگاه ساده است.برهان. به صفحة ۵۸ از [34] رجوع شود.گروههاي سادة متناهي از نوع لي خود به سه دسته تقسيم مي شود: گروههاي شوالي[2]گروههاي ساده و از نوع لي هستند كه شامل ۴ خانواده نامتناهي از گروههاي ساده مي باشند:1) (گروه خطي خاص تصويري)2) (گروه يكاني خاص تصويري)3) (گروه سيمپلكتيك تصويري)4) که درآن (گروه متعامد تصويري) گروههاي شوالي تابداركه اين گروها عبارتند از:،براي ؛ براي ،براي ؛ براي .گروه تايتگروهي ساده ومتناهي است كه زير گروهي از گروه مي باشد که آن را با نماد نشان می دهند. براي آشنايي بيشتر با گروههاي ساده چند نوع از آنها را بررسي مي كنيم. چندين خانواده از گروههاي كلاسيك وجود دارد كه با گروههاي ماتريسي بر روي يك ميدان متناهي پيوند دارند. اكنون ساده ترين اين گروهها را بررسي مي كنيم.فرض كنيد يك ميدان و يك عدد طبيعي باشد. مجموعة تمام ماتريسهاي معكوسپذير را كه درآيه هاي هر يك از آنها در اند را با نمايش مي دهيم. هر عضو را معمولا به صورت مي نويسيم كه در آن درايه واقع در سطر ام و ستونام ماتريس است. مجموعه با عمل ضرب ماتريسها تشكيل يك گروه مي دهد.تعريف: گروه را گروه خطي عام (از درجه بر) مي نامند.واضح است مجموعه تمام اعضای از كه دترمينان هر يك از آنها برابر۱ (عضو واحد ميدان) است زير گروهي از مي باشد. اين زير گروه را با نشان مي دهند.تعريف: گروه را گروه خطي خاص (از درجة بر) مي نامند.فرض كنيم يك ميدان متناهي باشد و . در اين صورت گروههاي و را به ترتيب با نماد و نيز نشان مي دهند.تعريف: اگر يك ميدان دلخواه باشد، گروه را گروه خطي خاص تصويري (از درجة بر) مي نامند وآن را با نمايش مي دهند.بعلاوه داريم: گروهرا با يا نيز نمايش مي دهند.فرض كنيد عددي طبيعي و ميدان دلخواهي باشد. با روشهاي مقدماتي مي توان ملاحظه كرد كه مركزگروه متشكل از تمام ماتريسهاي اسكالر مانند است كه در آن ماتريس واحد و عضوي از است وضمنا. يكريختيهاي جالبي بين گروههاي خطي خاص تصويري و گروههاي متناوب وجود دارد كه در زير به برخي از آنها اشاره مي كنيم:وفرض كنيد ماتريسي مربع باشد. ماتريس الحاقي را با نمايش داده و به شكل زير تعريف مي كنيم:كه در آن مزدوج مختلط است. اگر و دو ماتريس مربعي باشند، آنگاه . ماتريس مربعي را يك ماتريس يكاني نامند هرگاه .با توجه به تعريف ماتريسهاي يكاني داريم، كه در آن ماتريس هماني است ( لذا هر ماتريس يكاني وارونپذير است ). بعلاوه اگر يك ماتريس يكاني ويك ماتريس هرميتي باشد ( يعني ) آنگاهاگردترمينان برابر۱ باشد، آنگاه يك ماتريس يكاني خاص ناميده مي شود. بعلاوه حاصلضرب هر دو ماتريس يكاني باز هم يك ماتريس يكاني است. همچنين وارون هر ماتريس يكاني، ماتريسي يكاني است. از طرفي ماتريس هماني يك ماتريس يكاني است. در نتيجه ماتريسهاي يكاني همراه با عمل ضرب ماتريسها تشكيل يك گروه مي دهند كه به آن گروه يكاني گفته مي شود.تعريف: زير گروه متشكل از ماتريسهاي يكاني با دترمينان يك را گروه يكاني خاص مي نامند وآنرا با نمايش مي دهند. تعريف: گروه خارج قسمتي را گروه يكاني خاص تصويري مي نامند و آنرا با نمايش مي دهند. همچنين داريم: گروه كه آنرا با يا نيز نمايش مي دهند، براي همواره يك گروه ساده است به جز در حالات زير:علاوه بر اين:.يك فرم سيمپلكتيك بر فضاي برداري روي ميدان تابعي است مانند كه در خواص زير صدق كند:كه در آن و .را ناتبهگون ناميم هرگاه از اينكه به ازاي هر ، بتوان نتيجه گرفت . گروه سيمپلكتيك كه آن را با نيز نمايش مي دهند ، گروه ماتريسهاي اي است كه يك فرم سيمپلكتيك ناتبهگون را حفظ مي كند، يعني ماتريسهايي ناتكين مانند كه و يك فرم سيمپلكتيك ناتبهگون است.تعريف: گروه خارج قسمتي را يك گروه سيمپلكتيك تصويري مي نامند وآن را با نمايش مي دهند.گروه سيمپلكتيك را با نماد يا نيز نمايش مي دهند. اين گروه براي همواره يك گروه ساده است به جز در موارد زير:همچنين داريم: وماتريس ، را يك ماتريس متعامد مي ناميم هرگاه كه در آن ترانهادة ماتريس است. به وضوح هر ماتريس متعامد وارونپذير است و. همچنين دترمينان هر ماتريس متعامد است. حاصلضرب هر دو ماتريس متعامد باز هم يك ماتريس متعامد است. بعلاوه وارون يك ماتريس متعامد يك ماتريس متعامد است و همچنين ماتريس هماني نيز يك