چکيدهقابليت اعتماد يکی از مهمترين ويژگي های کيفيتی هر سيستم می باشد. در اکثر رشته های فنی و مهندسی موضوع قابليت اعتماد سيستم ها مطرح می باشد. معمولا، در عمل يک قطعه به يکباره از کار نمی‌افتد. بنابراين، از آنجائيکه موفقيت و شکست سيستم با عدم قطعيت همراه است، نظريه قابليت اعتماد مطرح می شود.در اين رساله به معرفی برخی از پارامترهای مهم قابليت اعتماد پرداخته می شود و دو مدل تصادفی يک سيستم در حوزۀ قابليت اعتماد معمولی مورد مطالعه قرار میگيرد و پارامترهای مهم قابليت اعتماد از قبيل زمان های توقف کوتاه سيستم، زمان از کار افتادن سيستم، موجوديت سيستم و اميد رياضی تعداد تعميرات، برای هر دو مدل مورد محاسبه قرار می گيرد. در پايان، نمودارهای مقايسهای ميانگين مدت زمان لازم تا خرابی سيستم برای هر دو مدل رسم شده است.مقدمهنخستین بار ،موضوع قابلیت اعتماد در حین جنگ جهانی دوم مطرح شد ،قابلیت اعتماد تا حد زیادی کاربرد علم آمار را در علوم فنی روشن می سازد.به ویژه اینکه کاربرد آمار را در فعالیت های عملی بیان می کند.در دنیای امروز تلاش کلیه سازندگان سیستم های الکترونیکی و ... بر این است که با بهره گیری از تکنولوژی پیشرفته،ضریب اطمینان محصولات خود را بالاتر ببرند به ویژه با توجه به رقابت موجود در دنیای صنعت محصولی موفق تر است که عمر بیشتر و کارکرد بالاتری داشته باشد.ما برای رسیدن به این هدف از آمار بهره گرفته ایم تا با استفاده از علم احتمالات ضریب اطمینان و متوسط طول عمر هر محصول را از لحاظ زمانی محاسبه کنیم و با مقایسه آن با سایر محصولات تصمیمی درست در مورد کیفیت یک محصول بگیریم.علاوه بر آن در هر مرحله سعی می کنیم محصولی را تولید کنیم که از لحاظ آماری عمر مفید تر و کارکرد بالاتری نسبت به مرحله قبل داشته باشد.ما در این پایان نامه،برای یکی از این دستگاهها دو مدل را پیشنهاد می کنیم که با توجه به این مدل ها و محاسبات آماری لازم در مورد این مدل ها ،روشن می شود که مدل سازی و بهره گیری از علم آمار و احتمال تا چه حد در بالا بردن کیفیت این گونه محصولات می تواند مفید باشد.فهرست مطالبعنوان صفحهفصل اول: پيش نيازها 11-1 تعاريف .........................................................................................................................21-2 فرآيند تجديد و زنجيره های مارکف .............................................................................8 فصل دوم: طرح و بررسی دو مدل تصادفی در حوزه قابليت اعتماد 122-1 طراحی و بررسی دو مدل تصادفی و نمودار دو مدل......................................................132-2 نماد گذاری ............................................................................................................... 18 فصل سوم : بررسی مدل اول در حوزه قابليت اعتماد 203-1 شرح و بیان مدل اول ................................................................................................213-2 ماتریس آهنگ ها (نرخ های )انتقال...........................................................................223-3 احتمالات انتقال و زمانهای توقف (کوتاه) .................................................................233-4 ماتریس احتمال انتقال ...............................................................................................263-5 ميانگين زمانهای اقامت در حالتهای مختلف ...............................................................263-6 مدت زمان لازم تا خراب شدن سيستم........................................................................273-7 تحليل موجوديت .....................................................................................................333-8 تحليل دوره مشغوليت ...............................................................................................363-9 اميد رياضی تعداد تعميرات .......................................................................................38 فصل چهارم : بررسی مدل دوم در حوزه قابليت اعتماد 404-1 شرح و بیان مدل دوم ................................................................................................414-2 ماتریس آهنگ ها (نرخ های ) انتقال .........................................................................434-3 احتمالات انتقال و زمانهای توقف (کوتاه) .................................................................434-4 ماتریس احتمال انتقال ...............................................................................................444-5 ميانگين زمانهای اقامت در حالتهای مختلف ...............................................................444-6 مدت زمان لازم تا خراب شدن سيستم........................................................................454-7 تحليل موجوديت .....................................................................................................484-8 تحليل دوره مشغوليت ...............................................................................................514-9 اميد رياضی تعداد تعميرات .......................................................................................53 فصل پنجم : نمودارهای مقايسهای دو مدل تصادفی 55 واژنامۀ انگليسی به فارسی .......................................................................................................62فهرست مراجع .......................................................................................................................65فصل 1پيش نيازهامفاهيم و مقدمات فرآيند های تصادفی 1-1 تعاريفتعريف 1-1-1. مجموعه اندیس1: مجموعه را فضای پارامتر یا مجموعه اندیس میگوییم.مجموعه انديسگذار میتواند چند بعدی باشد، به عنوان مثال امواج اقيانوسها، میتوان را طول و عرض جغرافيایی گرفت، و در اين صورت، ارتفاع موج در موضع میباشد. [11]مقادير ممکن است يک بعدی، دو بعدی، يا بعدی و يا حتی کليتر باشد.تعريف 1-1-2. فرآیند تصادفی2: هر گاه یک مجموعه انديسگذار و برای هر ، یک متغیر تصادفی باشد، گردايهی را اصطلاحا یک فرایند تصادفی میگوییم. [11]تعريف 1-1-3. فضای حالت3: مجموعه ، شامل کلیه مقادیر مختلفی که به ازای هر اختیار میکند، فضای حالت2 فرآیند تصادفی میگوییم. [11]تعريف 1-1-4. فرآیند گسسته4 و فرآیند پیوسته5: در صورتیکه مجموعه‌ای شمارا باشد فرایند را گسسته و در غير اين صورت فرآيند را پيوسته میگوییم. [11]به عبارت ديگر هرگاه ، آنگاه همواره میگوييم يک فرآيند تصادفی با زمان گسسته است. هرگاه ، يک فرآيند با زمان پيوسته است.1- Index Set 2- Stochastic Process 3- State Space4 - Discrete 5 -Continuousتعريف 1-1-5. فرآیند با حالت گسسته، فرآیند با حالت پیوسته: اگر فضای حالت یک فرآیند شمارا باشد فرایند را با حالت گسسته و در غير اين صورت فرايند را با حالت پيوسته گوییم.[11]در حالتی که ، فرآيند مربوطه را با مقدار صحيح يا يک فرآيند با وضعيت گسسته میناميم. هرگاه خط حقيقی باشد، آنگاه را يک فرآيند تصادفی با مقدار حقيقی میناميم. هرگاه يک فضای اقليدسی بعدی باشد، آنگاه گوييم يک فرآيند برداری بعدی است.مثال 1-1-1: برای يک فرآيند تصادفی که نمايانگر امتيازات در يک مسابقه فوتبال میباشد فضای پارامتر و فضای حالت را مشخص کنيد. [13]حل: فضای حالت در اين فرآيند عبارت است از تعداد گل هایی که بين دو تيم رد و بدل میشود يا به عبارت ديگر:اگر زمان را برحسب دقيقه اندازه بگيريم، فضای پارامتر عبارت است از . فرآيند در وضعيت شروع میشود و هر زمانی که گلی به ثمر برسد انتقالی بين حالتهای صورت ميگيرد. به ثمر رسيدن يک گل، مقدار يا را به اندازهی يک واحد افزايش میدهد و لذا امتياز به يا تغيير خواهد يافت.مثال 1-1-2: کارخانهای دارای دو ماشين تراش است ولی هر روز يکی از آن ها مورد استفاده قرار ميگيرد. احتمال ثابتی برای خراب شدن اين ماشين تراش وجود دارد، و اگر خرابی ماشين پيش بيايد، اين اتفاق در پايان روز رخ خواهد داد. يک تعميرکار در اين رابطه در استخدام کارخانه است. تعمير هر ماشين دو روز به طول میانجامد. يک فرآيند تصادفی طرح کنيد که عملکرد اين کارخانه را توضيح دهد. [13]حل: انتخاب متغير تصادفی در اين مسأله مهم است. مقدار اين متغير تنها در انتهای روز بررسی میشود زيرا کليهی انتقالات در آخر روز صورت ميگيرد. فضای پارامتر مجموعهی روزهای فعال هفته میباشد که سيستم در حال بهرهبرداری است. اگر اولين روز را 1 و دومين روز را 2 و به همين ترتيب بقيه روزها را شماره گذاری کنيم خواهيم داشت:فرآيند تصادفی مناسب اين کارخانه عبارت است از ، که نمايانگر تعداد روزهای لازم برای تعمير ماشينها است و مقدار آن در پايان روز ثبت میشود. اگر هر دو ماشين قابل استفاده باشند صفر خواهد بود.اگر يکی از ماشينها سالم و ماشين خراب يک روز تحت تعمير باشداگر يک ماشين سالم و ماشين دوم اخيراً خراب شده باشداگر يک ماشين اخيراً خراب شده باشد و ماشين خراب دومی يک روز تحت تعمير باشدوضعيتهای ذکر شده موارد ممکنه هستند پس فضای وضعيت عبارت است از:مثال 1-1-3 : فرآيند پيوسته با حالت پيوسته[9]:برق مصرفی کارخانه دریک روزتازمان tمثال 1-1-4 : فرآيند پيوسته با حالت گسسته[9]:تعداد مشتريان در صف در زمانمثال 1-1-5 : فرآيند گسسته با حالت پيوسته [9]:ميزان بارندگی در روز - ام از ارديبهشتمثال 1-1-6 : فرآيند گسسته با حالت گسسته[9]:افرادی که در روز t- ام به مغازه مراجعه می کنندتعريف 1-1-6. فرآیند دارای نمو مستقل1:هر گاه یک فرایند تصادفی باشد و به ازای جميع که متغیرهای تصادفی مستقل از هم باشند، فرایند را دارای نموهای مستقل گوییم. به عبارت ديگر فرآيند تصادفی دارای نموهای مستقل است هرگاه متغيرهای تصادفی از هم مستقل باشند. [11]تعريف 1-1-7 . فرآیند دارای نمو مستقل مانا2:هر گاه برای هر و هر متغیرهای تصادفی هم توزیع باشند آنگاه فرایند را دارای نموهای مستقل مانا (ایستا) گوییم. [11]تعريف 1-1-8 .فرآیند مارکفی3: فرض کنید یک فرایند تصادفی باشد به طوریکه توزیع شرطی (آینده) با معلوم بودن(حال) به (: گذشته) بستگی نداشته باشد، چنین فرایندی را فرایند مارکفی یا فرایند دارای خاصیت مارکفی4 مینامند.به عبارت ديگر در هر فرایند مارکفی اگر آنگاه [12]:در حالت گسسته1- Independent Increment 2- Stationary Increment 3- Markov Process 4- Markov Propertyمثال 1-1-7. ( گام برداری تصادفی1 نامحدود) : يک فرآيند تصادفی را در نظر بگيريد که از حرکت ذرهای در طول يک محور با گامهای يک واحد زمان به وجود میآيد. فرض کنيد که احتمال برداشتن گامی به سمت راست و احتمال برداشتن گامی به سمت چپ باشد. همچنين فرض کنيد که هر گام مستقل از گام ديگر برداشته میشود. چنين فرآيندی را گام برداری تصادفی نامحدود میناميم. میخواهيم نشان دهيم که اين فرآيند، يک فرآيند تصادفی با نمو مستقل است ( و در نتيجه مارکف نيز هست) و تحت انتقالات2 با بازههای اعداد صحيح، ايستا است[13].حل: اگر دنباله ای از متغيرهای تصادفی مستقل باشد، آنگاه که در آن ، دارای نمو مستقل است زيرا اگر آنگاه و مستقل از هم میباشند. موقعيت ذره در زمان است و چون احتمالات گام زدن به راست و يا چپ به هيچ وجهی به بستگی ندارد توزيع توأم فقط به فاصلههای زمانی مابين مشاهدات بستگی دارد، و نيز توزيع توأم برای تمام های متعلق به وضعيتی مشابه دارد.مثال 1-1-8: فرآيند پواسون، يک فرآيند مستقل ايستا میباشد. [12]تعريف 1-1-9 . فرآیند پواسون3: فرآيند را يک فرآيند پواسون با نرخ ، گوييم هرگاه:فرآيند دارای نموهای مستقل باشد.