مقایسه ی دو شیوه ی برآورد مقادیر گمشده با استفاده از معیار نزدیکی پیتمندر این رساله ابتدا به معرفی مفهوم معیار پیتمن نزدیکی (PMC) که پیتمن آن را در سال 1937 معرفی کرد، می پردازیم و از آن به عنوان معیاری در انتخاب برآوردگرهای بهینه همراه با دیگر معیارها مانند نا اریب بودن، واریانس کمینه و کم ترین میانیگین توان دوم خطا استفاده می کنیم. در ادامه به منظور ارزیابی عملکرد روش های پیش بینی یک متغیره و چند متغیره ، معیار نزدیکی- پیتمن را در نظر می گیریم و وزن های بهینه ی پیش بینی های ترکیبی را نیز براساس این مولفه محاسبه می کنیم . این وزن ها به توزیع خطاهای پیش بینی تکی بستگی دارند، در حالت نرمال این وزن ها با وزن های MSE-بهینه (در حالت تک متغیره) و با وزن های MMSE - بهینه (در حالت چند متغیره) برابرند. ایده ی اصلی این تحقیق بررسی این موضوع است که روش درون یاب خطی (LI) و روش پیش بینی با جایگزینی(FR) را نسبت به معیار دیگری که معروف به پیتمن نزدیکی است مقایسه می کنیم . در ارتباط با مورد خاص فرایند خودبازگشتی مرتبه اول(AR) ، برتری روش درون یاب خطی را نسبت به روش پیش بینی با جایگزینی اثبات خواهیم کرد .واژگان کلیدی: مدل خودبازگشتی، داده ی گم شده، پیتمن-نزدیکی، ارزیابی روش های پیش بینی، پیش بینی های ترکیبی فهرست مطالبعنوان صفحه فصل اول: معیار نزدیکی پیتمن در مقابل میانگین توان دوم خطا................ 1-1- مقدمه........21-2- تاریخجه و تعاریف...................................................................................................................................................................................................... 21-3- پدیده ی رائو............................................................................................................................................................................................................... 71-3-1- پدیده ی رائو در مسائل مختلف......................................................................................................................................................... 71-3-2- تعمیم پدیده ی رائو............................................................................................................................................................................... 101-4- ضعف های MSE....................................................................................................................................................................................................... 111-4-1- زمانی که MSE قادر به تشخصی نیست.................................................................................................................................... 111-4-2- زمانی که MSE وجود ندارد.............................................................................................................................................................. 111-4-3- MSE و تاکیدات نامناسب.................................................................................................................................................................. 111-4-4- اطلاعات توام در مقابل اطلاعات کناری...................................................................................................................................... 131-5- یک راه حل کلی برای تعیین PMC............................................................................................................................................................... 151-6- فقدان خاصیت تعدی PMC............................................................................................................................................................................... 201-6-1- نتیجه گیری.................................................................................................................................................................................................... 22فصل دوم: پیتمن-نزدیکی به عنوان معیاری برای ارزیابی کردن کیفیت پیش بینی ها.................................... 2-1- مقدمه.................................................................................................................................................................242-2- حالت تک متغیره................................................................................................................................................................................................... 242-2-1- میانگین توان دوم خطا (MSE).................................................................................................................................................. 252-2-2- پیتمن-نزدیکی........................................................................................................................................................................................... 262-3- حالت چند متغیره................................................................................................................................................................................................. 312-3-1- ماتریس میانگین توان دوم خطا (MMSE)......................................................................................................................... 312-4- پیتمن-نزدیکی......................................................................................................................................................................................................... 342-5- مثال عددی........................................................................................................................................................................................... 382-5-1- نتیجه گیری.......................................................................................................................................................................... 40فصل سوم : مقایسه ی دو شیوه ی برآورد مقادیر گمشده با استفاده از معیار نزدیکی پیتمن........................ 3-1- مقدمه................................................................................................................................................................423-2- تعاریف و مفاهیم اولیه................................................................................................................................................................. 433-3- دو شیوه ی جایگذاری برای یک مقدار گمشده................................................................................................................................. 443-3-1- روش درون یاب جایگزین................................................................................................................................................................... 453-3-2- روش پیش بینی جایگزین.................................................................................................................................................................. 463-4- مقایسه ی دو روش و نتیجه گیری............................................................................................................................................................ 47پیوست................................................................................................................................................................... پیوست 1 ................................................................................................................................................................................................ 49پیوست 2 .................................................................................................................................................................................................51پیوست 3 ..........................................................................................................................................533-1-مقدمات.............................................................................................................................................................................533-2- درون یاب یک مقدار گمشده................................................................................................................................................ 55پیوست4 :برنامه نویسی.......................................................................................................................................................................................................... 60واژه نامه................................................................................................................................................................. به ترتیب حروف الفبای فارسی...........................................................................................................................................................66به ترتیب حروف الفبای انگلیسی.......................................................................................................................................................... 69فهرست منابع و مراجع..................................................................................................................................... 72فهرست نشانه های اختصاریPMC: Pitman’s Measure of ClosenessMSE : Mean Square ErrorMMSE : Matrix Mean Square ErrorMAD : Mean Absolute DeviationAR : AutoregressiveMA : Moving AverageLI : Linear InterpolatorFR : Forecast Replacementفصل اول: معیار نزدیکی پیتمن در مقابل میانگین توان دوم خطا1-1-مقدمهزمانیکه برای یک مسئله ی آماری، چند برآوردگر متفاوت در اختیار داریم ، یافتن «بهترین» برآوردگر دارای اهمیت بوده و مسلم است که قضاوت باید بر اساس معیارهای معقول باشد. بعضی از این معیارها، مانند میانگین توان دوم خطا[1]در بین پژوهشگران ، بسیار معمول بوده ولی معیار نزدیکی پیتمن[2] به سبب ناآشنایی باویژگی های آن ، کمتر مورد استفاده قرار گرفته است . در این فصل ضمن معرفی و بررسی معیارنزدیکی پیتمن ،کوشش شده است تا با برشمردن نقاط ضعف MSE، به اهمیت به کارگیری معیارهایی نظیر معیارپیتمن به جای میانگین توان دوم خطا دربعضی مسائل اشاره گردد .1-2- تاریخچه وتعاریفدر این پایان نامه ، یک معیار کیفی دیگر که با نام نزدیکی-پیتمن شناخته شده است بررسی و تحلیل می شود . معیار نزدیکی- پیتمن در سال 1937 معرفی شد و از آغاز دهه ی 80 میلادی (به خصوص در کیتینگ و دیگران (1993)) مورد بحث و بررسی قرار گرفته است .در سال1930، یک مباحثه ی گسترده بین کارل پیرسن و رونالد فیشر در ارتباط با دو روش مینیمم کای اسکور و بیشترین راستنمایی رخ داد . در سال 1936، پیرسن در مقایسه خود در نشریه Biometrika، ضمن ارائه ی روش مینیمم کای اسکور ، مثالی عرضه کرد که در آن توزیعی را روی یک سری داده از دو راه جداگانه برازش داده و پارامترها را از دو راه مینیمم کای - اسکور و حداکثر راستنمایی ، برآورد نمود . او ادعا کرد کهMLE منسوب به فیشر نتایجی بهتر از نتایج حاصله از روش خودش ارائه نخواهد داد . این مباحثه بین پیرسن و فیشر ادامه داشت تا اینکه پیتمن برای خاتمه دادن به جدال مذکور ، در صدد ابداع روشی برای مقایسه ی این دو برآورد برآمد . این روش بدین ترتیب بود که او PMC را به عنوان معیاری که هم شهودی بوده و هم به سادگی درک می گردد ، پیشنهاد کرد . واضح است که بدون این مباحثات ، ارائه ی این پیشنهاد از سوی پیتمن ، جلب توجه نمی کرد.چهل سال بعد، برکسون و رائو[3] درگیر مباحثه ای موشکفانه و جدید شدند که درباره ی سودمندی روش کای اسکور بود . برکسون ادعا کرد که با استفاده از هر معیار معمولی ، روش مینیمم کای- اسکور، منجر به تولید یک برآوردگر بهتر از MLE خواهد شد . دقیقا مانند مباحثه ی پیرسن- فیشر که موجب معرفی PMC شد، مباحثه ی رائو- برکسون نیز باعث بازنگری به PMC به عنوان معیاری مطلوب گردید .از دیدگاه تاریخی ، تحقیق درنظریه ی برآورد ، با بدست آوردن برآوردگرهایی براساس خواص آماری آنها ( مانند برآوردگری با حداقل واریانس ) آمیخته است . روشهای متفاوتی برای برآورد پارامترهای مجهول وجود دارد که از آن جمله می توان از روش گشتاورها ، کمترین توانهای دوم، درستنمایی ماکسیمم، نا اریبی با کمترین واریانس و غیره نام برد.کار آرایی هرروش به آسان بودن و خواص آن روش بستگی دارد . با اینکه وجود روشهای مختلف برای برآورد پارامتر مجهول یک برتری به حساب می آید، اما پرسش اساسی در این زمینه این است که « از بین روشهای موجود کدامیک را باید برگزید ؟ »یک معیار بسیار معمول برای به دست آوردن « بهترین » برآوردگر ، که در بین آماردانان از مطلوبیت خاصی برخوردار است ، میانگین توان دوم خطا یا به اختصار MSEاست . استفاده از MSEبرای اولین بار را به گاوس ریاضیدان آلمانی نسبت می دهند. بر اساس این معیار، برآوردگری که دارای کمترین MSEباشد انتخاب می شود .واضح است که اگر تعداد برآوردگرها متناهی باشد ، انتخاب بین آنها کار نسبتا ساده ای است . در صورتی که امکان یافتن یک برآوردگرکه در یک رده ی نامتناهی از برآوردگرها، به طور یکنواخت دارای کمترین MSEباشد، غالبا غیر ممکن است. مناسبات عملی، عقاید سنتی و راحتی محاسبات ریاضی باعث شده اند تا از MSEمعیاری بسیار معمول و متداول ساخته شود .درصورتی که در نظریه ی برآورد اگر تنها به استفاده ازMSE ( ودر حالت کلی تابع مخاطره) به عنوان معیاری برای مقایسه ی برآوردگرها بسنده کنیم، مشکلات وضعفهای ذاتی اجتناب ناپذیری بروز خواهد کرد .در این فصل سعی خواهیم کردضمن برشمردن برخی از محدودیتها و نقاط ضعف MSE که درمسائل مختلف رخ می دهند ، به معرفی و بررسی معیار نزدیکی پیتمن یا به اختصارPMC که نخستین بار آن را پیتمن برای مقایسه ی دوبه دوی برآوردگرهای آماری ، معرفی کرده است ، بپردازیم . این معیار به صورت زیر تعریف شده است:تعریف1-2-1- فرض کنیدودو برآوردگر برای پارامتر مجهول باشندبه طوریکه فضای پارامترها باشد. معیارنزدیکی پیتمن(PMC)برای این دوبرآوردگر که آن را با نمادPMC نشان خواهیم داد ، به صورت زیر تعریف می شود :PMC درساده ترین تعبیرPMC، می توان آن را به عنوان فراوانی نسبی اینکه، نزدیکتر از رقیبش یعنی به پارامتر واقعی ولی مجهول باشد، تلقی کرد.معیار نزدیکی پیتمن سابقه ای درحدود هشتاد سال دارد . مسائلی نظیر عدم وابستگی به گشتاورها (بر خلاف MSE)، تعبیر ساده و بدیهی که در این معیار نهفته است وجود مواردی که در آنها معیارهای دیگر غیر قابل استفاده هستند ، باعث شدند تا ازPMC یک معیار شهودی ساخته شود . البته این معیار به خاطر پیچیدگی ظاهری ساختارش کمتر مورد استفاده قرار گرفته است .تعریف1-2-2- ( برآوردگر پیتمن - نزدیکتر[4] ) دربین برآوردگرهای پارامتر ، بر اساس یک متغیر تصادفی ، برآوردگر را پیتمن- نزدیکتر از و را پیتمن - غیرمجاز[5] گوییم هرگاه :PMC =وحداقل به ازای یی نامساوی اکید برقرارباشد . برآوردگر راپیتمن-مجاز[6] گوییم ، اگر چنین ی وجود نداشته باشد .لازم به ذکر است که پیتمن ، تعریف اولیه خود را بر فرض زیر بنا نهاد :(فرض پیش نیامدن تساوی یا گره) . واضح است که این شرط همیشه برقرار نیست ، زیرا ممکن است و با احتمال مثبت برابر باشند . برای درک بهتر موضوع به مثال زیرتوجه کنید.مثال 1-2-1- زمانی که برآوردگرها دارای توزیع گسسته ویا زمانی که دو برآوردگر پیوسته در توافق باشند ، نظیر برآوردگرهای تواامکان دارد که احتمال فوق مثبت باشد .در چنین مواردی، PMC احتیاج به یک اصلاح اساسی دارد که بحث آن از حوصله این پایان نامه خارج است.تعریف 1-2-3- ( پیتمن- نزدیکترین برآوردگر[7] ) برآوردگر را پیتمن -نزدیکترین برآوردگر گوییم ، هرگاه برای هر برآوردگر دیگری مانند داشته باشیم : با این تعریف، وجود نزدیک ترین برآوردگرها از دیدگاه معیار پیتمن، تنها در حالت های به خصوصی که باشد، امکان پذیر است. اگر پیتمن-نزدیک ترین برآوردگر برای باشد، آنگاه به ویژه برای باید داشته باشیم :در نتیجه با فرض اینکه ، خواهیم داشت :و برای داریمکه در این حالت احتمال سمت چپ برابر صفر است ، بنابراین احتمال سمت راست نیز باید صفر باشد..پس داریم :از این رابطه نتیجه می گیریم که . اما این تساوی بایستی برای همه ی نقاط در رخ دهد و بنابراین تنها در حالت ویژه ای که ) ( یعنی برآوردگرهای بدون خطا ) است ، می تواند پیتمن- نزدیک ترین باشد.نکته ی دیگر این است که در مورد دو برآوردگر و برای ، ممکن است پیتمن-نزدیکتر از یا پیتمن-نزدیکتر از باشد ، یا ممکن است و هم ارز پیتمنی باشند ، یعنی به ازای هر ، ، داشته باشیم :PMC =در حالت کلی ، تنها روی بخشی از نزدیکتر از و روی بخش دیگری از ، نزدیکتر از است و هم ارزی را روی بقیه ی خواهیم داشت . بنابراین در چنین حالت هایی، معیار پیتمن توانایی انتخاب یکی از این دو را نخواهد داشت.