فهرست مطالبچکیده ............ 6 1 تعاریف ، مفاهیم و قضایای مقدماتی........... 71. 1 تعریف و مفاهیم مقدماتی ........... 81. 2 فضاهای باناخ و هیلبرت ........ 151. 3 قضایا و تعاریفی از آنالیز غیرخطی و فضاهای سوبولف...... 262 بررسی شرطهای وجود جواب برای دستگاههای بیضوی تکین ...... 352. 1 مقدمات ......... 362. 2 لم های کمکی ......... 443 بررسی وجود بی نهایت جواب برای دستگاههای بیضوی تکین ......... 47قضیه اصلی ........... 94منابع ...... 100واژه نامه فارسی به انگلیسی .......... 105چکیده انگلیسی ................................................................................................................................................... 113 چکیدهدر این پایان نامه دستگاه معادلات بیضوی تکین و تباهیده به فرم زیر را در نظر می گیریم(1. 1)که در آن یک دامنه کراندار با مرز هموار می باشد و توابع که برای . و نیز بوده و همچنین توابع وزن برای . توابع توابع وزن هستند اما توابع توابع وزن قابل تغییر علامت می باشندو همچنین .با استفاده از انواع روش های تغییراتی مثل روش مسیر کوهی، اصل تغییراتی ایکلند، اصل تغییراتی کلارک، نابرابری نیرنبرگ و...وجود تعداد نامتناهی جواب برای دستگاه (1. 1) را در یک فضای سوبولف وزن دار ثابت می کنیم.کلمات کلیدی : دستگاه بیضوی تباهیده و تکین؛ توابــع وزن؛ غیر خطــی مقــعر؛ تعداد نامتناهی جواب.فصل 1 تعاریف ، مفاهیم و قضایای مقدماتیمقدمه : در این فصل به معرفی مفاهیم ابتدایی که در سرتاسر این پایان نامه مورد استفاده قرار می گیرند، می پردازیم. ابتدا معادلات دیفرانسیل جزیی و برخی کاربردهای آن را معرفی می کنیم، و مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت، و سوبولف و قضایای مرتبط به آنها خواهیم داشت و سپس عملگر بیضوی را تعریف می نماییم. 1. 1: تعاریف و مفاهیم مقدماتی تعریف 1. 1. 1 (معادله دیفرانسیل ) :هر معادله شامل یک متغیر وابسته و مشتقاتش نسبت به یک متغیر مستقل را معادله دیفرانسیل گویند. معادلات دیفرانسیل کاربرد زیادی در ریاضیات، فیزیک، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از زمینه های دیگر علوم دارند. تعریف 1. 1. 2 (معادله دیفرانسیل جزیی ) :هر رابطه بین متغیرهای مستقل و متغیر تابع و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل جزئی گویند. اگر یک تابع چند متغیره باشد، مشتق مرتبه نسبت به مولفه ی را به صورت نشان می دهیم.هرگاه بزرگترین مرتبه مشتق ظاهر شده باشد ، معادله دیفرانسیل از مرتبه است. معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی را با علامت اختصاری PDE نشان می دهند.تعریف 1. 1. 3 (دامنه ) :فرض کنیم فضای اقلیدسی - بعدی با نقاط که باشد. در این صورت را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد. تعریف 1. 1. 4 [24] :مجموعه همه توابع پیوسته روی را با نشان می دهیم. برای ، مجموعه توابعی هستند که همه مشتقات تا مرتبه ام آنها روی پیوسته است. کلاس همه توابعی هست که برای هر عدد طبیعی متعلق به باشد. تعریف 1. 1. 5 [24] :محمل یک تابع روی به صورت زیر تعریف می شود :پس برای هر ، اگر ، آن گاه ، همانطور که می دانیم (طبق قضیه هاینه برل ) مجموعه های بسته و کراندار در فشرده می باشند، بنابراین اگر محمل کراندار باشد می گوییم دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوسته که محمل فشرده دارند را با نمایش می دهیم. به طور مشابه مجموعه توابع پیوسته روی می باشند که محمل آنها یک زیر مجموعه فشرده از است. همچنین مجموعه توابعی هستند که همه مشتقات تا مرتبه ام آنها روی پیوسته بوده و محمل آنها زیر مجموعه فشرده از می باشند.تعریف 1. 1. 6 (تابع آزمون) :تابع تعریف شده روی مجموعه باز غیر تهی را یک تابع آزمون نامند هرگاه و با محمل فشرده باشد. تعریف 1. 1. 7 (مجموعه های اندازه پذیر و توابع اندازه پذیر) :فرض کنیم یک دامنه در و اندازه لبگ در باشد. مجموعه هایی که روی آنها خوش تعریف است را مجموعه های اندازه پذیر گویند. تابع را که برای آن مجموعه برای هر ی حقیقی یک مجموعه اندازه پذیر باشد تابع اندازه پذیر می نامیم. تعریف 1. 1. 8 (توابع کاراتئودوری)[14] :فرض کنید یک دامنه باشد. تابعرا یک تابع کاراتئودوری نامند هرگاهتعریف 1. 1. 9 (فضاهای ) [24]:فرض کنید یک دامنه ی کراندار و یک عدد حقیقی مثبت باشد و همچنین یک تابع اندازه پذیر و تعریف شده روی باشد. تعریف می کنیم:در این صورت:را نرم تابع می نامیم. در توابعی را یکی می گیریم که به طور تقریبا همه جا با هم برابر باشند یعنی اندازه ی نقاطی که با هم برابر نیستند برابر صفر باشد. می گوییم در اگر برای تقریبا هر . می توان نشان داد که یک فضای برداری است. قضیه 1. 1. 10 [24]:اگر و در ، آنگاه زیر دنباله ای از دنباله مانند موجود است به طوریکه: قضیه 1. 1. 11 (نامساوی هولدر) [24]:اگر و و و آنگاه و نیز :تعریف 1. 1. 12(انتگرال پذیری موضعی تابع روی دامنه ):مجموعه همه ی توابع اندازه پذیر تعریف شده روی قلمرو که انتگرالشان تعریف شده و متناهی باشد را توابع انتگرال پذیر می نامیم. اغلب اوقات با توابعی که روی هر زیر مجموعه فشرده انتگرال پذیر هستند رو به رو می شویم و لزومی ندارد که روی خود انتگرال پذیر باشند. مجموعه ی همه چنین توابعی را با نشان می دهیم. چون توابع پیوسته روی مجموعه های فشرده مقدار بیشینه و کمینه خود را می گیرند، بنابراین می توان نتیجه گرفت که : لم 1. 1. 13(فاتو)[24]:هرگاه به ازای هر عدد صحیح مثبت اندازه پذیر باشد، آنگاه:تعریف 1. 1. 14(سوپریمم اساسی):فرض کنید یک تابع اندازه پذیر روی باشد. می گوییم به طور اساسی کراندار است، اگر یک ثابت وجود داشته باشد به طوری که رابطه به طور تقریبا همه جا در برقرار باشد. به بزرگترین کران پایین (اینفیمم) چنین هایی سوپریمم اساسی می گوییم و آن را با نماد زیر نشان می دهیم:تعریف 1. 1. 15(فضای ):فرض کنیم فضای برداری متشکل از همه ی توابعی باشد که سوپریمم اساسی آنها کراندار است. نرم در این فضا به صورت زیر تعریف میشود: تعریف 1. 1. 16(فضای ):برای ، عبارت است از توابع حقیقی مقدار و اندازه پذیر روی به طوری که برای هر زیر مجموعه فشرده از داشته باشیم: قضیه 1. 1. 17(قضیه همگرایی تسلطی لبگ)[24]:اگر مجموعه ای اندازه پذیر و دنباله ای از توابع اندازه پذیر بر باشد به طوریکه تابع نامنفی موجود باشد به طوریکه به ازای هر داشته باشیم آنگاه اندازه پذیر است و تعریف 1. 1. 18[24]:یک خانواده از توابع انتگرال پذیر روی به طور یکنواخت روی انتگرال پذیر است اگر برای هر داده شده یک ای وجود داشته باشد به طوری که اگر و آنگاه برای هر داشته باشیم: