کلید واژه:مربعات دیفرانسیل، مربعات دیفرانسیل تکهای، جابجایی آزاد گذرا، کره، لایهی مرزیفهرست مطالبعنوان صفحهفصل اول: مقدمه1.1 مقدمه...................................... 22.1 مروري بر کارهاي گذشته..................... 43.1 اهداف پاياننامه........................... 15فصل دوم:روش مربعات ديفرانسيل و روش مربعات ديفرانسيل تکهاي1.2- مقدمه..................................... 172.2- انتگرالگيري مربعي......................... 183.2- مربعات ديفرانسيلي......................... 194.2- محاسبهي ضرايب وزني مشتق مرتبهي اول........ 191.4.2- تقريب بلمن............................... 191.1.4.2- تقريب اول بلمن......................... 192.1.4.2- تقريب دوم بلمن......................... 202.4.2- تقريب کلي شو............................. 215.2- محاسبهي ضرايب وزني مشتقات مرتبهي دوم و بالاتر231.5.2-ضرايب وزني مشتق مرتبهي دوم................ 231.1.5.2- تقريب کلي شو............................ 232.5.2- رابطهي بازگشتي شو براي محاسبهي مشتق مراتب بالاتر 243.5.2- تقريب ضرب ماتريسي........................ 266.2- اعمال شرايط مرزي.......................... 277.2- انواع انتخاب فواصل بين نقاط............... 298.2- مربعات ديفرانسيل تکهاي.................... 319.2- بررسي کارايي روش مربعات ديفرانسيل......... 321.9.2- جريان جابجايي آزاد دايم بر روي کره دما ثابت321.1.9.2- مدلسازي رياضي جريان..................... 322.1.9.2- گسستهسازي معادلات با استفاده از روش مربعات دیفرانسیل 353.1.9.2- نتايج.................................. 36فصل سوم:جريان جابجايي آزاد گذرا بر روي کره دما ثابت1.3- بررسي جريان جابجايي آزادگذرا اطراف کرهي همدما.. 401.1.3- مدلسازي رياضي جريان...................... 402.1.3- گسستهسازي معادلات با استفاده از روش مربعات دیفرانسیل 433.1.3- نتايج.................................... 442.3- بررسي جريان جابجايي آزاد گذرا بر روي کره دما ثابت در حضور ميدان مغناطيسي................................ 441.2.3- مدلسازي رياضي جريان...................... 472.2.3- نتايج.................................... 493.3- بررسي اثر توليدو جذب حرارت بر جريان جابجايي آزاد گذرا بر روي کره دما ثابت.................................. 501.3.3- مدلسازي رياضي جريان...................... 502.3.3- نتايج.................................... 514.3-بررسي اثر لزجت متغير با دما بر جريان جابجايي آزاد گذرا بر روي کره دما ثابت.................................. 531.4.3- مدلسازي رياضي جريان...................... 542.4.3- نتايج................................... 555.3- بررسي اثر هدایت حرارتي متغير با دما بر جريان جابجايي آزاد گذرا بر روي کره دما ثابت...................... 561.5.3- مدلسازي رياضي جريان..................... 572.5.3- نتايج................................... 596.3- بررسي اثر لزجت و هدایت حرارتي متغير با دما بر جريان جابجايي آزاد گذرا بر روي کره دما ثابت................. 601.6.3- مدلسازی ریاضی جریان...................... 602.6.3- نتايج................................... 637.3- بررسي اثر لزجت و هدایت حرارتي متغير با دما بر جريان جابجايي آزاد گذرا بر روي کره دما ثابت تحت ميدان مغناطيسي با در نظر گرفتن توليد و جذب حرارت............................. 631.7.3- مدلسازی ریاضی جریان...................... 632.7.3- نتايج................................... 67فصل چهارم:بحث و نتیجهگیری و پیشنهادات1.4- بحث و نتیجهگیری.......................... 692.4- پیشنهادات................................. 70فهرست مراجع................................... 72پیوستهاجداول......................................... 89اشکال و نمودارها.............................. 96 فهرست جداول:جدول 1.2 :بررسی استقلال روش از تعداد گرهها در راستایy در x=0 .جدول 2.2:بررسی استقلال روش از تعداد گرهها در راستای x در x=90 .جدول 3.2:مقایسه ی روش DQ-FD با روش DQ-DQ.جدول4.2:بررسی نتایج حاصل از با استفاده از DQM .جدول 5.2: بررسی نتایج حاصل از با استفاده از DQM .جدول 1.3:بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستایy در حالت دایم کد گذرا درx=0 .جدول 2.3 :بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستایx در حالت دایم کد گذرا در x=90 .جدول 3.3 :بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای در حالت دایم کد گذرا در x=90 .جدول 4.3 :مقایسه ی روش DQ_IDQ با روش DQ_DQ. فهرست اشکال:شکل 1.2: انتگرالگيري مربعيشکل 2.2: مقايسهي توزيع چبشف-گوس-لوباتو با توزيع يکنواخت در شبکهي 8*15شکل2.3: چگونگي برخورد روش مربعات ديفرانسيل تکهاي با يک تابع زمانمند دلخواهشکل 4.2: نحوهي تکه تکهکردن دامنهي محاسباتي در روش مربعات ديفرانسيل تکهايشکل 5.2: نمايي از مسيله مورد مطالعهشکل6.2 : اثر تغییر زاویه برروند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در لايه ي مرزي باشکل1.3: بررسی روند انتقال حرارت گذرا تا رسیدن به حالت دایمشکل2.3 : روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با در باشکل3.3 : اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم درشکل4.3 : اثر برروند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با درشکل5.3 : روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باوشکل6.3 : اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در باشکل7.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در باشکل8.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم باشکل9.3 : روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باوشکل10.3 : اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در باشکل11.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در باشکل12.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم باشکل13.3 : روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باوشکل14.3 : اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در باشکل15.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در باشکل16.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم باشکل17.3 : روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باوشکل18.3 : اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در باشکل19.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در باشکل20.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم باشکل21.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در باشکل22.3 : اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (ب)در باشکل23.3 : اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (الف) و اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (ب) در حالت دایم در باشکل24.3 : اثر بر روند تغييرات توزیع دما (الف) و اثر بر روند تغييرات توزیع دما (ب) در حالت دایم در باشکل25.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در حالت دایم باشکل26.3 : اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (ب) در حالت دایم باشکل27.3 : اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (الف)، اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (ب)، اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (ج) و اثر بر روند تغييرات پروفیل سرعت (د) در حالت دایم در باشکل28.3 : اثر بر روند تغييرات توزیع دما (الف)، اثر بر روند تغييرات توزیع دما (ب)، اثر بر روند تغييرات توزیع دما (ج) و اثر بر روند تغييرات توزیع دما (د) در حالت دایم در باشکل29.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (د) در باشکل30.3 : اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (د) در باشکل31.3 : اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغييرات ضریب اصطکاک دیواره (د) در حالت دایم باشکل32.3 : اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغييرات ناسلت محلی (د) در حالت دایم با فهرست علایم:aشعاع کرهماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبهی اولماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبهی دوممیدان مغناطیسیماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبهی سومگرمای ویژه در فشار ثابتسرعت بدون بعدمیدان جاذبهعدد گراشفHپارامتر تولید و جذب حرارتهدایت حرارتیMتعداد گرهها در جهت yتعداد گرهها در جهت xپارامتر هیدرومغناطیستعداد گرهها در جهتعدد پرانتلنرخ تولید یا جذب حرارت حجمیثابت تولید یا جذب حرارتTزمان دارای بعدt”زمان بدون بعدTدمای سیالسرعت بدون بعد در راستای xUمولفهی سرعت در راستای Xسرعت بدون بعد در راستای yVمولفهی سرعت در راستای Yxمختصات بیبعد شده در راستای سطح کرهXمختصات در راستای سطح کرهyمختصات بیبعد شده در راستای عمود بر سطح کرهYمختصات در راستای عمود بر سطح کرهضریبی که خاصیت هدایت حرارتی را به اختلاف دما مرتبط میکندضریب انبساط حرارتیضریب که لزجت را به اختلاف دما مرتبط میکندپارامتر بدون بعد در هدایت حرارتیپارامتر بدون بعد در لزجتلزجت دینامیکی سیاللزجت سینماتیکی سیالدمای بدون بعدچگالی سیالضریب هدایت الکتریکی سیالزمان بدون بعدتابع جریانپایین نویسمقادیر در فاصلهی بسیار دور از سطح کرهWمقادیر درسطح کرهبالانویسنشانگر ماتریس ضرایب اصلاح شده 1.1- مقدمه:يکي از پديدههاي انتقال حرارت، جابجايي آزاد يا طبيعي است. تغيير چگالياي که بواسطهي گراديان دما ايجاد ميشود منجر به جاري شدن سيال ميگردد. حرکت سيال در جابجايي آزاد در مجاورت يک سطح در نتيجهي نيروهاي شناوري است که به واسطهي گراديان دما اعمالی بر سيال در نزديکي سطح و تغييرات چگالي سيال میباشد. نيروهاي شناوري که موجب جريانهاي جابجايي آزاد ميشوند را نيروهاي حجمی[1] ميگويند. تاريخچهي تحقيقات اوليهي که اين جريان را در نظر گرفتند، به يک صده قبل باز ميگردد. از آن زمان تاکنون دادهها، روابط و تحليلهايي که بر اين جريان حاکم ميباشند با رشد فوقالعادهي افزايش پيدا کردهاند. علاقهي بيشماري که بشريت به اين پديده نشان ميدهد، بازتاب نياز فوقالعادهي است که بشر به اين پديدهي جالب و حياتي احساس میکرده است. اهميت و تنوعي که در بکارگيري اين پديده در صنعت و محيط اطراف به چشم ميآيد، نشان بر کاربرد گستردهي اين پديده دارد. اين پديده گاه به تنهايي و گاه با ترکيب شدن با ساير پديدههاي انتقال در انتقال حرارت و جرم بکار گرفته شده است.از طرفي با توجه به اينکه سيستمهاي واقعي فيزيکي يا مسائل مهندسي که بواسطهي اين پديده ايجاد ميشوند به کمک معادلات پارهاي توصيف ميشوند، در اکثر حالتها، حل بستهي[2] آنها فوقالعاده سخت است. بدين سبب، روشهاي تقريبي عددي به صورت گستردهاي براي حل اين معادلات، مورد استفاده قرار ميگيرند. بيشترين روشهاي عددي که براي حل اينگونه مسائل به کار گرفته ميشوند، روشهاي المان محدود[3]، تفاضل محدود[4] و حجم محدود[5] ميباشد اين سه روش جز روشهاي مرتبهي پايين طبقهبندی میشوند. روشهاي مرتبهي پايين براي بدست آوردن دقت کافي در محاسبات نيازمند تعداد گرههاي محاسباتي بالايي هستند. در مسايلي که چند بعد محاسباتي دارد نياز به ظرفيت محاسباتي بالا براي حفظ دقت محاسبات بيشتر نمود پيدا ميکند. بنابراين محققین تلاشهايي به منظور دستيابي به روشهايي که با تعداد گرههاي محاسباتي کم، منجر به نتايجي با دقت بالا گردند را آغاز کردند. از اين روشها تحت عنوان روشهاي مرتبهي بالا ياد ميشود. از جملهي ماحصل اين تلاشها ميتوان به روشهاي طيفي[6] و مربعات ديفرانسيل[7] اشاره کرد. همانگونه که گفته شد يکي از مزاياي اين روش دستيابي به دقت محاسباتي مناسب در عين کم بودن تعداد گرههاي محاسباتي است.روش مربعات ديفرانسيلبراي اولين بار توسط ريچارد بلمن و همکارنش در اوايل دههي 70 ميلادي به کار گرفته شده است. روش مربعات ديفرانسيل برگرفته شده از روش انتگرالگيري مربعي[8] ميباشد. در اين روش مقدار مشتق تابع در هر نقطه را با استفاده از مجموع حاصلضرب مقادير تابع در مقادير وزني مرتبط در طول راستاي مورد نظر تقريب ميزنند. نکتهي کليدي در بکار بردن اين روش، تعيين ضرايب وزني است. بدليل محدوديتهايي که در اعمال روشهاي اوليهي تعيين ضرايب وزني وجود داشت، اين روش تا سالهاي متمادي کمتر مورد استفاده قرار گرفت. تا اينکه پژوهشهايي که محققين در اواخر دههي80 و اوايل دههي 90 به منظور پيدا کردن ضرايب وزني سادهتر انجام دادند، منجر به معرفي اين روش به عنوان ابزار عددي قدرتمندي در دو دههي اخير شد.با افزايش استفاده از اين روش در ساليان اخير محققين بنا به نيازي که احساس ميکردند، روشهاي ديگري را از روش مربعات ديفرانسيل استخراج کردند که يکي از اين روشها مربعات ديفرانسيل تکهاي[9] است. اين روش در مسايلي که تغييرات گراديان متغييري شديد و يا در مسايلي با شرايط مرزي متغير، کارايي بالايي دارد. ايدهي روش مربعات ديفرانسيل تکهاي در سال 2006 در مدلسازي امواج در آبهاي کم عمق بکار گرفته شد. اصول اين روش بر پايهيتکه تکه کردن دامنهي محاسباتي بر زير دامنهها و اعمال روش مربعات ديفرانسيل بر هر زير دامنه است.در اين پایان نامه جريان جابجايي آزاد گذرا حول کره با ترکيب دو روش مربعات ديفرانسيل و مربعات ديفرانسيل تکهاي مورد بررسي قرار گرفته شده است.2.1- مروري بر کارهاي گذشته:جابجايي آزاد بدليل کاربرد گستردهي که در صنعت و در محيط پيرامون بشر دارد بسيار مورد توجه قرار گرفته است. از طرفي با توجه به معادلات پارهاي حاکم بر اين پديده و مشکل بودن ارايهي يک حل تحليلي براي معادلات حاکم بر اين جريان، بشر مجبور به استفاده از روشهاي عددي براي حل اين جريان شده است. از طرفي، حل عددي معادلات حاکم بر جابجايي آزاد داراي پيچيدگيهايي است. علت اين امر وابسته بودن معادلهي مومنتم به معادلهي انرژي از طريق نيروي بويانسی است و بنابراین ميبايست معادلهي انرژي و مومنتم باید همزمان حل شوند. از طرفي يکي از عوامل اثر گذار در پيچيدهتر شدن معادلات هندسهي است که جريان بر روي بررسي ميشود. به عنوان مثال جريان بر روي کره نسبت به جريان برروي هندسههاي چون صفحات اعم از افقي، عمودي يا مايل و حتي استوانههاي با همين وضعيت پيچيدهتر ميباشد.