چكيده: در اين پايان‌نامه، هدف مطالعه‌ي مجموعه‌هاي ناهموار ( فازی ) و ارتباط آن با گروه‌ها و حلقه‌ها است. ابتدا فضاي تقريب و مجموعه‌هاي ناهموار را تعريف مي‌كنيم و كاربرد آن را در گروه‌ها و حلقه‌ها بيان مي‌كنيم. زيرگروه‌ها و زيرحلقه‌ها و ايدهآلهاي Tـ فازي ناهموار را معرفي كرده و نشان مي‌دهيم چهارچوب كلي‌تري نسبت به زيرگروه‌ها و زيرحلقه‌ها و ايدهآلهاي Tـ فازي براي t-نرم دلخواه دارند. تأثير همريختي بر آن‌ها را بيان كرده و برخي از مفاهيم را در مورد مجموعه‌هاي ناهموار فازي را نيز بيان مي‌كنيم.پيشگفتارنظريه مجموعه‌هاي ناهموار به عنوان تعميمي از نظريه مجموعه‌هاي كلاسيك، براي كار با داده‌هاي نادقيق است كه براي اولين بار توسط زاديسلاو پاولاك[1] [14] در سال 1982 مطرح شد. اساس اين نظريه يك رابطه هم‌ارزي روي مجموعه مرجع مي‌باشد كه توسط آن براي هر زيرمجموعه يك تقريب ناهموار پاييني و يك تقريب ناهموار بالايي معرفي مي‌گردد. اين نظريه و رابطه آن با ساختارهاي جبري بعدها توسط دانشمندان بسياري از جمله بونيكفسكي[2] ([1])، بيسواس[3]، ناندا[4] ([1])، كوروكي[5]، موردسون[6]، لئورينو[7] و ... مورد مطالعه قرار گرفت.دابويس[8] و پرد[9] ([6]) و ([7]) اولين كساني بودند كه مفاهيم مجموعه‌هاي فازي ناهموار و ناهموار فازی را معرفي كردند. يك مجموعه فازي ناهموار زوجي از مجموعه‌هاي فازي است كه ناشي از تقريب زدن يك مجموعه فازي در يك فضاي تقريب فازي و يك مجموعه ناهموار فازی زوجي از مجموعه‌هاي فازي است كه ناشي از اجراي نظريه فازي بر يك فضاي تقريب معمولي است.در ايرن نيز دكتر بيژن دواز[10] ([3]) اولين كسي بود مطالعات خود را روي مجموعه‌هاي ناهموار آغاز كرد. ايشان مطالعات خود را در مورد ساختارهاي جبري ناهموار و ساختارهاي فازي ناهموار سوق داد.هدف اين پايان‌نامه مطالعه مجموعه‌هاي فازي ناهموار و برخي از ساختارهاي ناهموار جبري نظير زير گروه‌هاي فازي ناهموار و زيرحلقه فازي ناهموار و ايده‌آل فازي ناهموار است. همچنين در اين پايان‌نامه نشان داده مي‌شود كه طي چه شرايطي يك ساختار ناهموار جبري تحت يك همريختي پايا است. و همچنين عمده‌ترين كارها انجام گرفته روي مجموعه‌هاي فازي ناهموار را روي مجموعه‌هاي ناهموار فازی بررسي مي‌كنيم.اين پايان‌نامه در چهار فصل تهيه گرديده است. در فصل 1 تعاريف و پيش‌نيازها، در فصل 2 مجموعه‌هاي T- فازي ناهموار براي t- نرم دلخواه و در فصل 3 زيرگروه‌هاي T– فازي ناهموار و تأثير همريختي‌ها بر آن‌ها را بيان كرده و در فصل 4 ابتدا ايدهآلهاي T- فازي اول (اوليه) ناهموار را بيان كرده و برخي از مطالب گفته شده را روي مجموعه‌هاي ناهموار فازي بيان مي‌كنيم.فهرست مندرجاتفهرست مطالبعنوان صفحهفصل 1: تعاريف و پيش‌نيازها1-1- مقدمه .......................................................................................................................... 21-2- مجموعه‌هاي ناهموار ...................................................................................................... 31-3- نظريه مجموعه‌هاي فازي روي گروه‌ها و حلقه‌ها ................................................................. 71-4- اشتراك‌هاي فازي (t- نرم‌ها) ........................................................................................... 10فصل 2: مجموعه‌هاي T- فازي ناهموار2-1- مقدمه ........................................................................................................................... 142-2- تقريب بالا و پايين از يك مجموعه‌ي فازي ........................................................................ 152-3- تقريب بالا و پايين از يك مجموعه‌ي فازي نسبت به يك زير گروه نرمايT- فازي.................. 20فصل 3 : زير گروه‌هاي T– فازي (نرمال) ناهموار3-1- مقدمه ........................................................................................................................... 273-2- زيرگروه‌هاي T– فازي ناهموار بالايي و پاييني ................................................................... 283-3- تصويرهاي همريختي گروهي از زير گروه‌هاي T- فازي ناهموار .......................................... 33 فصل 4: مجموعه هاي ناهموار در حلقه ها4-1- مقدمه ........................................................................................................................... 374-2- روابط همنهشتي قوي و كامل و مجموعه‌هاي ناهموار .......................................................... 384-3- تقريب‌هاي مجموعه فازي ............................................................................................... 444-4- ايدهآلهاي اول (اوليه) ناهموار در حلقه‌ي جابجايي ............................................................ 474-5- ايدهآلهاي فازي اول (اوليه) از يك حلقه‌ي جابجايي ......................................................... 544-6- ايدهآلهاي فازي اول ناهموار .......................................................................................... 564-7- ايدهآلهاي ناهموار فازي................................................................................................. 60پيوست A .............................................................................................................................. 79پيوست B .............................................................................................................................. 83منابع ..................................................................................................................................... 87فصل 1تعاريف و پيش‌نيازها1-1- مقدمهدر اين فصل برخي مفاهيم و نتايج در مورد مجموعه‌هاي ناهموار و مجموعه‌هاي ناهموار (فازي) كه در ساير فصول مورد استفاده قرار مي‌گيرد را ارائه مي‌كنيم.براي كسب اطلاعات جامع‌تر در مورد اين مفاهيم به [2] و [3] و [6] و [1] و [15] مراجعه شود. 1-2- مجموعه‌هاي ناهموار1-2-1- يادآوري - به گردايه‌اي از اشياء دوبدو متمايز مجموعه گوئيم.- اگر A,B دو مجموعه باشند به ضرب دكارتي A در B گوييم.- هر زير مجموعه‌ي يك رابطه از A به B ناميده مي‌شود. اگر A=B باشد، به هر زير مجموعه يك رابطه روي A گفته مي‌شود. اگر R رابطه‌اي روي A باشد و مي‌نويسيم aRb.- اگر R رابطه‌اي روي A باشد، وارون R به صورت و متمم R به صورت نمايش داده مي‌شود.- رابطه‌ي R روي مجموعه‌ي A بازتابي است يعني:- رابطه‌ي R روي مجموعه‌ي A تقارني است يعني:- رابطه‌ي R روي مجموعه‌ي A ترايايي است يعني:- رابطه‌ي R روي مجموعه‌ي A هم‌ارزي است يعني، بازتابي، تقارني و ترايايي است.- اگر R رابطه‌ي هم‌ارزي روي مجموعه A باشد، به كلاس هم‌ارزي a يا كلاس هم‌ارزي R توليد شده توسط a گوييم.- فرض كنيدU يك مجموعه‌ي مرجع ناتهي باشد. مجموعه‌ي تواني U را با P(U) نمايش مي‌دهيم.- براي هر ، متمم مجموعه‌ي X را با XC نشان مي‌دهيم، كه به‌صورت UX تعريف مي‌شود.1-2-2- تعريف [1]زوج كه در آن و يك رابطه‌ي هم‌ارزي روي U است، يك فضاي تقريب ناميده مي‌شود.1-2-3- تعريف [1]فرض کنید یک فضای تقريب دلخواه باشد، براي تعريف تقريب ناهموار، نگاشت را تعريف مي‌كنيم، با ضابطه‌‌ي:می باشد كه به طوريكه ورا تقريب ناهموار پاييني از X در مي‌ناميم و را تقريب ناهموار بالايي از X در مي‌ناميم.1-2-4- تعريف [1]براي هر فضاي تقريب ، مجموعه‌ي ناهموار ناميده مي‌شود اگر و تنها اگر براي بعضي از ، .1-2-5- مثالفرض كنيد يك فضاي تقريب باشد، به‌طوريكه:و رابطه‌ي هم‌ارزي با كلاس‌هاي هم‌ارزي زير دادهشده باشد:اگر یک مجموعه باشد آنگاه وو بنابراين يك مجموعه‌ي ناهموار است.1-2-6- مثالفرض كنيد يك فضاي تقريب باشد به طوري كه و رابطه‌ي هم‌ارزي به صورت زير باشد.اگر I={0.1.2.3.4.6.10.11} باشد آنگاه و .1-2-7- تعريف [1]زير مجموعه X از Uتعريف‌پذير ناميده مي‌شود اگر .1-2-8- مثال اگر همان فضاي تقريب مثال 1-2-6 باشد و باشد آنگاه و بنابراين تعريف‌پذير است.1-2-9- توجهاگر با كلاس هم‌ارزي P و ، آنگاه1- بدين معني است كه xقطعاً در كلاس P قرار دارد.2- بدين معني است كهx احتمالاً در كلاس P قرار دارد.(3) بدين معني است كه x قطعاً در كلاس P قرار ندارد.1-2-10- تعريفزماني كه ، گوييم A(C) يك زير مجموعه‌ي ناهموار از A(B) است.فرض كنيد A(C) و A(B) دو مجموعه‌ي ناهموار باشند ، اگر و تنها اگر و .1-2-11- تعريف متمم مجموعه‌ي ناهموار A(C) را با نشان مي‌دهيم و به صورت زير تعريف مي‌شود:همچنين را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:1-2-12- مثالاگر كلاس‌هاي هم‌ارزي به شرح زير ميباشدو آنگاه داريم:و نيز داريم:.تعاريف و مطالب بيشتر را در فصول بعد حتماً مشاهده كنيد.1-3- نظريه مجموعه‌هاي فازي روي گروه‌ها و حلقه‌ها1-3-1- تعريف فرض كنيد X يك مجموعه ناتهي باشد. يك زير مجموعه فازي از X نگاشتي است مانند .در اين صورت را مي‌توانيم به عنوان تابعي كه به هر عضو درجه‌اي از عضويت را تخصيص مي‌دهد، در نظر بگيريم.1-3-2- تعريف فرض كنيد يك زير مجموعه‌ي فازي از X باشد،(1) زير مجموعه‌ي تراز عبارتست از:(2) زير مجموعه‌ي تراز قوي عبارتست از: