چکیده:در این پایان نامه ابتدا به بررسی وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله بیضوی غیرخطی نوع -لاپلاسین که به صورتتعریف می شود، می پردازیم که در آن ، ، ، زمانی که ، به ثابت مثبت میل می کند و .برای دست یافتن به جواب این مسأله، به جمع آوری نتایجی در قالب چند لم می پردازیم و نتیجه ی اصلی خود را در قالب دو قضیه مطرح می کنیم و با تکیه بر نتایج به دست آمده به اثبات این قضیه ها می پردازیم.در ادامه به بررسی وجود جواب های چندگانه برای مسأله ی بیضوی غیرخطی از نوع -لاپلاسین زیر، همراه با شرایط مرزی، در فضای سوبولف می پردازیم.این مسأله به صورتتعریف می شود که در آن یک دامنه ی کراندار است ، ، نمای بحرانی سوبولف است و است. می خواهیم ثابت کنیم که اگر داشته باشیم آنگاه یک وجود دارد طوری که برای هر مسأله دارای جواب است.برای این منظور نتیجه ی اصلی خود را در قالب یک قضیه مطرح می نماییم سپس جهت اثبات این قضیه به جمع آوری برخی نتایج اولیه در قالب چند لم و یادآوری برخی مفاهیم از نظریه مینی ماکس می پردازیم.کلمات کلیدی: -لاپلاسین، وجود، جواب غیر بدیهی، جواب های چند گانه، نمای بحرانی. پیشگفتار: آنالیز یکی از مهم ترین و تواناترین شاخه های ریاضیات است که رهگشای بسیاری از مسائل ریاضی، فیزیک، مهندسی، مکانیک، مکانیک اتمی و کوانتومی جدید است. در این بین نقش معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر انکار ناپذیر است، بدون تردید معادلات دیفرانسیل یکی از بخش های عمده ی ریاضیات است و با توجه به کاربرد ریاضیات و به خصوص معادلات دیفرانسیل در شناخت علوم دیگر و توجیه پدیده های علمی، این بخش از ریاضیات دانشمندان زیادی را مجذوب خود کرده است.به دلیل کاربرد گسترده ی این شاخه از علم ریاضی در علوم طبیعی، کارهای اساسی روی برخی انواع معادلات انجام شده است. یکی از عملگرهای مرتبط با بسیاری از مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل، عملگر لاپلاسین می باشد که بسیاری از پدیده های فیزیکی و زیست شناسی و ... توسط معادلات مرتبط با این عملگر مدل سازی می شوند.این نوع معادلات در رده ی معادلات دیفرانسیل بیضوی همراه با شرایط مختلف مرزی قرار می گیرند که یکی از شاخه های بسیار کاربردی معادلات دیفرانسیل می باشد و همواره نظر بسیاری از دانشمندان علوم مختلف، به خصوص ریاضیدانان را به خود جلب کرده است.تألیف کتب و مقالات متعدد پیرامون این موضوع که هم اینک با رشد فزاینده ای ادامه دارد، دلیل انکار ناپذیر این مدعاست.فصل اول: تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی1-1.مفاهیم مقدماتی .........................................................................................................................................21-2. پیوستگی هولدر ........................................................................................................................................51-3. فضاهای باناخ و هیلبرت .............................................................................................................................61-4. فضاهای .....................................................................................................................................101-5. قضیه ی دیورژانس ...................................................................................................................................131-6. فضاهای سوبولف ....................................................................................................................................151-7. عملگرهای خطی ..................................................................................................................................... 181-8 . روش های حساب تغییرات ......................................................................................................................22فصل دوم: وجود یک جواب غیربدیهی برای مسئله ی p و q-لاپلاسین با غیرخطی مجانبی2-1.نتایج اولیه ................................................................................................................................................312-2. چگونگی ساختار.............................................................................................................................372-3. وجود یک جواب غیر بدیهی ..................................................................................................................51فصل سوم: بررسی همگرایی نقطه وار توابع در فضای و فضاهای کلی تر3-1. حالت () ....................................................................................................................653-2.حالت کلی ..............................................................................................................................................66فصل چهارم:جواب های چندگانه برای مسئله ی -لاپلاسین با نمای بحرانی سوبولف4-1.نتایج اولیه ................................................................................................................................................744-2. بررسی وجود جواب ...............................................................................................................................89منابع ..............................................................................................................................................................96واژه نامه انگلیسی به فارسی ...........................................................................................................................99فصل اولتعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتیمقدمه :در این فصل مفاهیم پایه مورد نیاز را بیان نموده و در ادامه مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت، ، سوبولف و قضایای مرتبط به آن ها خواهیم داشت. شایان ذکر است که تمامی مطالب این فصل از کتب و مقالات معتبر گردآوری شده است(منابع [1]، [5]، [11] ، [13]، [23] ، [32] و ... را ملاحظه کنید).1-1. مفاهیم مقدماتی1-1-1. تعریف(دامنه):فرض کنیم فضای اقلیدسی -بعدی () با نقاط که, و باشد. در این صورت را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد. 1-1-2. تعریف:مجموعه ی همه ی توابع پیوسته روی Ω را بانشان می دهیم. برای ، نشان دهنده ی توابعی هستند که همه ی مشتقات تا مرتبه ی -ام آن ها روی Ωموجود و پیوسته است. کلاس همه ی توابعی است که برای هر عدد طبیعی ، متعلق به باشد. 1-1-3. تعریف:محمل یک تابع پیوسته ی روی بصورت زیر تعریف می شود:یعنی برای هر، اگر ، آنگاه 0. همان طور که می دانیم (طبق قضیه ی هاینه برل) مجموعه های بسته و کراندار در فشرده می باشند، بنابراین اگر محمل کراندار باشد، می گوییم دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوسته که محمل فشرده دارند را با نمایش می دهیم. بطور مشابه نشان دهنده ی توابع پیوسته روی Ω می باشد که محمل آن ها یک زیرمجموعه ی فشرده از Ω است. هم چنین نیز به طریق مشابه قابل تعریف است.1-1-4. تعریف:گوییم تابع روی دامنه ی Ω تغییر علامت می دهد هرگاه اندازه ی مجموعه های ومثبت باشد.1-1-5. تعریف(مجموعه ی محدب):مجموعه ی را محدب گویند، هرگاه برای هر و هر داشته باشیم1-1-6. تعریف (تابع محدب):تابع حقیقی تعریف شده در را محدب گویند هرگاه برای هر و هر داشته باشیم1-1-7. تعریف(تابع آزمون):تابع، تعریف شده روی مجموعه ی باز غیرتهی را یک تابع آزمون نامند، هرگاه باشد و یک مجموعه ی فشرده مانند موجود باشد، طوری که محمل در قرار داشته باشد. مجموعه ی تمام این توابع را با نشان می دهند. 1-1-8. نمادگذاری:را گردایه ی تمام توابع تعریف شده روی قلمرو Ω در نظر می گیریم طوری که:اغلب اوقات با توابعی که بطور موضعی انتگرال پذیر هستند، روبرو می شویم، یعنی توابعی که روی هر زیرمجموعه فشرده از Ω انتگرال پذیر هستند و لزومی ندارد که روی خود Ω انتگرال پذیر باشند. مجموعه ی همه ی چنین توابعی را با نشان می دهیم.چون توابع پیوسته روی مجموعه های فشرده مقدار بیشینه و کمینه ی خود را می گیرند، می توان نتیجه گرفت که : 1-1-9. تعریف(نگاشت خطی، تابعک خطی):فرض کنید و فضاهای برداری باشند، یک نگاشت را خطی گوییم هرگاهنگاشت های خطی از به میدان اسکالر، تابعک خطی نامیده می شوند.1-1-10. تعریف(نقطه ی بحرانی یک تابعک):گوییم نقطه ی بحرانی تابعک می باشد هرگاه . به عبارت دیگر برای هر باید داشته باشیم1-1-11.تعریف(نماد ):رای و یک عدد حقیقی می گوییم اگر و فقط اگر وقتی که ، داشته باشیم1-1-12. تعریف(دنباله می نیمم کننده): دنباله ی یک می نیمم کننده برای تابع روی است اگر1-1-13.تعریف(تابع برشی[1]):تابع را یک تابع برشی گوییم هرگاه هموار بوده و در یک همسایگی، صفر و برای های بزرگ باشد.1-2. پیوستگی هولدر[2]1-2-1.تعریف (پیوستگی هولدر):فرض کنید یک نقطه در و یک تابع تعریف شده روی یک زیرمجموعه باز کراندار Ω شامل باشد. برای می گوییم « پیوسته ی هولدر با قوه ی در » است اگر که کمیتمتناهی باشد.اگر در کمیت فوق باشد می گوییم در نقطه ی پیوسته ی لیپ شیتز [3] است. اگر پیوسته ی هولدردر باشد، آنگاه در به وضوح پیوسته است. 1-2-2. تعریف(پیوستگی هولدر در Ω):گوییم تابع، پیوسته ی هولدر با قوه ی در Ω می باشد، هرگاه مقدار