چکیدهمسئله آنالیز واریانس چند متغیره (MANOVA) و مقایسه بردارهای میانگین چندین جامعه نرمال چند متغیره، زمانیکه ماتریسهای کوواریانس مجهول و نابرابر هستند، موضوع اصلی بررسی ما در این رساله میباشد. بدین منظور روشهای کلاسیک (مانند - هتلینگ)، که براساس برابری ماتریسهای کوواریانس میباشد، ممکن است منجر به نتایج گمراه کنندهای شود. زمانیکه ماتریسهای کوواریانس مجهول و نابرابر هستند متیو (Mathew)، گامیج (Gamage) و ویراهاندی (Weerahandi) (2004) روش متغیر تعمیم یافته (GV) را برای مقایسه بردارهای میانگین چندین جامعه نرمال چند متغیره پیشنهاد کردند. اما این روش خطای نوع اول را به صورت رضایتبخشی کنترل نمیکند. در این رساله آزمونی را که کریشنامورتی (Krishnamoorthy) و لو (Lu) (2010) با استفاده از روش بوت استراپ پارامتری ارائه دادند، بررسی خواهیم کرد. مطالعات شبیه سازی نشان میدهد که این آزمون به صورت رضایتبخشی خطای نوع اول را کنترل میکند.کلید واژه: بوت استراپ پارامتری، p- مقدار تعمیم یافته، آزمون متغیر تعمیم یافتهفهرست مطالب عنوان صفحهفصل اول: مقدمه. 1-1- آشنایی با نمادها21-2- توزیع ویشارت.. 31-3- آماره آزمون. 51-3-1-آماره آزمون نسبت درستنمایی تحت فرض معلوم بودن ماتریسهای کوواریانس... 51-3-2-آماره آزمون تحت فرض مجهول بودن ماتریسهای کوواریانس... 8فصل دوم: مقایسه بردارهای میانگین دو جامعه نرمال. 2-2- آزمون برابری ماتریسهای کوواریانس... 152-2-1- توزیع مجانبی آماره ... 192-3- آزمون MNV.. 242-3-1- توزیع آماره .... 252-4- روند معمول. 29فصل سوم: معرفی آزمونها3-1- آزمون جانسن ( Johansens’ Test )313-1-1-روش ولچ ( Welch’s Method )323-1-2-آزمون جانسن.. 323-2-آزمون متغیر تعمیم یافته ( The Generalized Variable Test )333-2-1-p - مقدار تعمیم یافته یک متغیره. 343-2-2-p - مقدار تعمیم یافته برای مسئله بهرنز فیشر چند متغیره. 353-2-3-آزمون متغیر تعمیم یافته. 383-3-آزمون بوت استراپ پارامتری( Parametric Bootstrap Test )403-3-1-آزمون بوت استراپ پارامتری.. 413-3-2-تجزیه چولسکی ( Cholesky Factor )433-3-3-توزیع کمیت محوری بوت استراپ پارامتری.. 45فصل چهارم: شبیه سازی.. فصل پنجم: مثال عددی و نتیجهگیری.. 5-1- مثال عددی.. 625-2- نتیجهگیری.. 71پیوست.. پیوست1: قضایای مورد نیاز. 73پیوست 2: برنامهنویسی.. 78منابع و مراجع. 97فهرست جدولها عنوان و شماره صفحهجدول 4-1: شبیه سازی خطای نوع اول برای مقایسه بردارهای میانگین نرمال دو متغیره 55جدول 4-2: شبیه سازی خطای نوع اول برای مقایسه بردارهای میانگین نرمال سه متغیره 58جدول 4-3: شبیه سازی خطای نوع اول برای مقایسه بردارهای میانگین زمانیکه10 60فهرست نشانههای اختصاری GV: Generalized test variableLRT: Likelihood ratio testMANOVA: Multivariate analysis of varianceMNV: Modified Nel and Van der MerwePB: Parametric bootstrap1- مفاهیم مقدمهدر این فصل به معرفی نمادها و توزیعهای آماری که در این پایان نامه مورد استفاده است، میپردازیم. همچنین آماره آزمون، توزیع آن و مقدار بحرانی را تحت شرط معلوم بودن ماتریسهای کوواریانس معرفی میکنیم. اما به دلیل مجهول بودن ماتریسهای کوواریانس در اکثر مواقع، آماره آزمون را با فرض مجهول بودن ماتریسهای کوواریانس معرفی خواهیم کرد. 1-1- آشنایی با نمادها فرض کنید یک نمونه تصادفی از توزیع نرمال p– متغیره با بردار میانگین و ماتریس کوواریانس باشد. همچنین فرض کنید و به ترتیب نشان دهنده بردار میانگین و ماتریس کوواریانس نمونهای باشند. یعنی:(1-1-1) را به صورت تعریف میکنیم به گونهای کهبه طور مشابه برآورد به صورت تعریف میشود. در این بخش توزیع ویشارت (Anderson, 2003, p.252) و برخی از خواص آن را بررسی خواهیم کرد.تعریف: فرض کنیدیک نمونه تصادفی تایی از توزیع باشند. توزیع ویشارت با درجه آزادی و پارامتر را به صورت زیر تعریف میکنیم:اگر باشد، در این صورت گوییم دارای توزیع ویشارت با درجه آزادی و پارامتر است و آن را با نماد نمایش میدهیم.امید ریاضی توزیع ویشارت به صورت زیر محاسبه میشود:قضیه 1-2-1: اگر و و از یکدیگر مستقل باشند، آنگاه به گونهای که است.اثبات: طبق تعریف میتوان و را بفرم زیر نمایش داد:به گونهای که مستقل از یکدیگر هستند و دارای توزیع میباشند. بنابراین.قضیه 1-2-2: اگر بردارهای تصادفی مستقل و همتوزیع با باشند، در این صورت است به گونهای که مستقل از یکدیگر و دارای توزیع مشترک میباشند. بنابراین دارای توزیع ویشارت با درجه آزادی و پارامتر است.اثبات: به پیوست مراجعه شود.بنابراین براساس قضیه 1-2-2 نتیجه میشود کهبنابراینمسئله مورد علاقه در این پایان نامه، آزمون کردنبراساس آمارههای بسنده مینیمال بردار میانگین و ماتریس کوواریانس نمونهای است.فرض کنید ، ، وباشند. تحت فرض برابری بردارهای میانگین، را بردار مشترک ها در نظر بگیرید. در این بخش ابتدا آماره آزمون را تحت فرض معلوم بودن ماتریسهای کوواریانس و سپس تحت فرض مجهول بودن ماتریسهای کوواریانس، مییابیم. در این قسمت ابتدا برآورد ماکزیمم درستنمایی را تحت فرض و با فرض معلوم بودن ماتریسهای کوواریانس محاسبه میکنیم. بدین منظور تابع درستنمایی عبارت است از:(1-3-1)و بنابراین لگاریتم تابع درستنمایی به صورت زیر میباشد:حال از رابطه فوق نسبت به بردار مشتق میگیریم و مساوی با صفر قرار میدهیم:بنابراین با توجه به تعریف برآورد ماکزیمم درستنمایی بردار عبارت است از:(1-3-2)توجه شود برآورد فوق بهترین برآوردگر نااریب خطی برای میباشد.در این مرحله با استفاده از روش LR آماره آزمون را بدست میآوریم. فضای پارامتری تحت فرض صفر و در حالت کلی به صورت زیر تعریف میشود:تابع درستنمایی و لگاریتم آن به صورت زیر میباشد:.فرض کنید باشد. بنابراین:پس برآورد درستنمایی به صورت زیر میباشد:.تحت فرض برابری بردارهای میانگین تابع درستنمایی و برآورد ماکزیمم درستنمایی به ترتیب با روابط ( 1-3-1 ) و ( 1-3-2 ) برابر است. بنابراین آماره آزمون عبارت است از: