چکیدهدر این پایاننامه قضیه نقطه ثابت را برای برخی از عملگرهای دوری روی فضاهای متریک جزئی بیان و اثبات میکنیم. بدین منظور ابتدا فضای متریک جزئی را تعریف کرده و خواص آن را بیان میکنیم. سپس به بیان مفهوم انقباض، - انقباض دوری و - انقباض دوری و قضیه نقطه ثابت مربوط به این عملگرها روی فضاهای متریک کامل میپردازیم. و نهایتاً پیرامون وجود نقطه ثابت مشترک بین عملگرهای دوری و وجود نقطه ثابت منحصربفرد برای انقباضهای دوری تعمیم یافته و - انقباضهای ضعیف دوری تعمیم یافته روی فضاهای متریک جزئی بحث میکنیم. مقالههای اصلی مورد استفاده در این پایاننامه عبارتند از"قضیه نقطه ثابت مشترک برای عملگرهای دوری روی فضاهای متریک جزئی" نوشته کاراپینار و همکارانش، "نظریه نقطه ثابت برای انقباضهای تعمیم یافته دوری در فضاهای متریک جزئی" نوشته اگاروال و همکاران و "نظریه نقطه ثابت برای - انقباضهای ضعیف دوری تعمیم یافته روی فضاهای متریک جزئی" نوشته کاراپینار و ساواز.فهرست مطالب عنوانصفحهفصل اول:مقدمه21-1:فضاهای متریک جزئی41-2:مفاهیم مقدماتی16فصل دوم: نقطه ثابت مشترک عملگرهای دوری2-1: مفاهیم اولیه232-2: قضیه اصلی242-3: نتایج34فصل سوم: انقباضهای دوری تعمیم یافته 3-1: مفاهیم اولیه373-2: قضیه اصلی403-3: نتایج46فصل چهارم: -انقباضهای ضعیف دوری تعمیم یافته4-1: مفاهیم اولیه554-2: قضیه اصلی574-3: نتایج64مراجع70واژه نامه72 فصل اولمقدمه اصل نگاشت انقباض باناخ، که بیانگر این است که هر انقباض روی فضای متریک تام یک نقطه ثابت منحصربفرد دارد، یکی از ابتداییترین، شناخته شدهترین و مهمترین نتایج در آنالیز غیرخطی است که در سال 1922 توسط باناخ[1] مطرح شد. این نتیجه به طور پیوسته توسط افراد مختلفی مطالعه و تعمیم داده شده است.این افراد قضیه نقطه ثابت را روی فضاهای مختلفی از جمله فضاهای شبه متریک، فضاهای متریک کن[2]، فضاهای منگر[3] و فضاهای فازی[4] بیان و اثبات کردهاند. مفهوم - انقباض توسط بوید[5] و وانگ[6] در سال 1969 مطرح شد. مفهوم - انقباض توسط آلبر[7] و گوور-دلابریر[8] در سال 1997 با معرفی - انقباض ضعیف تعمیم داده شد. در سال 2003، کرک[9] و همکارانش مفهوم نمایش دوری و انقباض های دوری را مطرح کردند وپاکورار[10] و راس[11] در سال 2010 نگاشتهای - انقباض ضعیف دوری را معرفی نمودند.اخیراًدر نظریه نقطه ثابت یکی از فضاهای مورد توجهفضاهای متریک جزئی است. مفهوم فضای متریک جزئی در سال 1992 توسط متیوس[12] به عنوان تعمیمی از فضای متریک مطرح شد. تفاوت فضای متریک جزئی با فضای متریک در این است که در فضای متریک جزئی فاصله یک نقطه از خودش لزوماً صفر نیست. متیوس نظیر اصل انقباض باناخ را در فضاهای متریک جزئی ثابت کرد.این پایاننامه مشتمل بر چهار فصل میباشد:ابتدا در فصل اول فضای متریک جزئی را تعریف کرده و خواص آن را در قالب تعدادی لم و تبصره بیان میکنیم. سپس نمایش دوری را تعریف کرده و به بیان مفاهیم انقباض، - انقباض دوری و - انقباض دوری و قضیه نقطه ثابت مربوط به این عملگرها روی فضاهای متریک کامل میپردازیم.در فصل دوم، نمایش دوری نسبت به دو عملگر را تعریف کرده و قضیه نقطه ثابت مشترک بین عملگرهای دوری روی فضاهای متریک جزئی را اثبات میکنیم و نشان میدهیم در چه شرایطی دو نگاشت نقطه ثابت مشترک دارند.در فصل سوم، تابع مقایسه و تابع - مقایسه را معرفی کرده و با استفاده از آن تعمیمی از - انقباض دوری را بیان کرده و قضیه نقطه ثابت را برای آن بررسی میکنیم.در فصل چهارم، ابتدا دنباله -کشی و فضای متریک جزئی -کامل را تعریف میکنیم و سپس تعمیم دیگری از - انقباض ضعیف دوری را با استفاده از توابعی که در شرایط خاصی صدق میکنند، بیان میکنیم و به بحث پیرامون نظریه نقطه ثابت برای این نگاشتها روی فضاهای متریک جزئی -کامل میپردازیم.1-1: فضاهای متریک جزئیدر این بخش به معرفی فضاهای متریک جزئی و بیان خواص آن میپردازیم.تعریف 1-1-1 : مجموعه فضای متریک است اگر به هر دو نقطه و از عدد حقیقی ، به نام فاصله از تا ، طوری مربوط شده باشد که :1) هر گاه و ؛2) ؛3) به ازای هر ، .هر تابع برخوردار از این خواص یک تابع فاصله یا یک متر نام دارد.تبصره 1-1-2: هر زیرمجموعه بسته از یک فضای متریک کامل، کامل است.مفهوم فضای متریک جزئی که تعمیمی از فضای متریک است توسط متیوس به صورت زیر معرفی شد.تعریف 1-1-3: یک متریک جزئی روی مجموعه غیر تهی نگاشتاست بطوریکه:1) اگر و فقط اگر ؛2) ؛3) ؛4) ؛برای هر . زوج فضای متریک جزئی نامیده میشود.تبصره 1-1-4: اگر آنگاه ممکن است صفر نباشد.مثال 1-1-5: فرض کنیم وآنگاه یک فضای متریک جزئی است. با توجه به اینکه خواص 1 تا 3 به سادگی دیده میشوند فقط خاصیت 4 را بررسی میکنیم. توجه میکنیم کهبدون از دست دادن کلیت مطلب فرض میکنیم و (سایر حالتها به طریق مشابه اثبات میشوند). پس نامساوی آخر برقرار است اگر و فقط اگراین رابطه یک رابطه صحیح است زیرا و . در نتیجه خاصیت 4 برقرار است.مثال 1-1-6: فرض کنیم و آنگاه یک فضای متریک جزئی است؛فقط خاصیت 4 را بررسی میکنیم. سایر قسمتها به راحتی اثبات میشوند. بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض کنیم . اگر آنگاه با فرض اینکه داریم:سه حالت وجود دارد:اگر آنگاه آخرین نامساوی معادل با این است که و این یک رابطه صحیح است پس در این حالت خاصیت 4 برقرار است.اگر آنگاه که این نیز یک رابطه صحیح است.و اگر آنگاه که چون این رابطه نیز صحیح